Question

在平面直角坐標系中，A（-1，0），B（3，0）．
（1）若拋物線過A，B兩點，且與y軸交于點（0，-3），求此拋物線的頂點坐標；
（2）如圖，小敏發現所有過A，B兩點的拋物線如果與y軸負半軸交于點C，M為拋物線的頂點，那么△ACM與△ACB的面積比不變，請你求出這個比值；
（3）若對稱軸是AB的中垂線l的拋物線與x軸交于點E，F，與y軸交于點C，過C作CP∥x軸交l于點P，M為此拋物線的頂點．若四邊形PEMF是有一個內角為60°的菱形，求此拋物線的解析式．

Answer 1

（1）設過拋物線A，B兩點，且與y軸交于點（0，-3），的拋物線解析式為y=ax²+bx+c，
把A（-1，0），B（3，0），點（0，-3）代入
得

a-b+c=0 9a+3b+c=0 c=-3

，
解得

a=1 b=-2 c=-3

，
故此拋物線的解析式為y=x²-2x-3，頂點坐標為（1，-4）；

（2）由題意，設y=a（x+1）（x-3），即y=ax²-2ax-3a，
∴A（-1，0），B（3，0），C（0，-3a），M（1，-4a），
∴S_△ACB=

1

2

×4×|-3a|=6|a|，
而a＞0，
∴S_△ACB=6a．
作MD⊥x軸于D，
又S_△ACM=S_△ACO+S_OCMD-S_△AMD=

1

2

•1•3a+

1

2

（3a+4a）-

1

2

•2•4a=a，
∴S_△ACM：S_△ACB=1：6；

（3）①當拋物線開口向上時，
設y=a（x-1）²+k，
即y=ax²-2ax+a+k，
有菱形可知|a+k|=|k|，a+k＞0，k＜0，
∴k=-

a

2

，
∴y=ax²-2ax+

a

2

，
∴|EF|=

(x2+x1)2-4x1x2

=

2

記l與x軸交點為D，
若∠PEM=60°，則∠FEM=30°，MD=DE•tan30°=

6

6

，
∴k=-

6

6

，a=

6

3

，
∴拋物線的解析式為y=

1

3

6

x²-

2

3

6

x+

6

6

若∠PEM=120°，則∠FEM=60°，MD=DE•tan60°=

6

2

，
∴k=-

6

2

，a=

6

，
∴拋物線的解析式為y=

6

x²-2

6

x+

6

2

②當拋物線開口向下時，同理可得y=-

1

3

6

x²+

2

3

6

x-

6

6

，
y=-

6

x²+2

6

x-

6

2

．