Question

【題目】實(shí)數(shù)k取何值時(shí)，一元二次方程x2－(2k－3)x＋2k－4＝0：

(1)有兩個(gè)正根；

(2)有兩個(gè)異號(hào)根，并且正根的絕對(duì)值較大；

(3)一根大于3，一根小于3.

Answer 1

【答案】(1)見解析。（2）見解析，（3）見解析。

【解析】

根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，即韋達(dá)定理進(jìn)行作答.（1）有兩個(gè)正根時(shí)，x1＞0，x2＞0，即x1＋x2,x1x2.由此得到k的取值.（2）有兩個(gè)異號(hào)根，并且正根的絕對(duì)值較大，即x1＞0，x2＜0且|x1|＞|x2|.即x1＋x2,x1x2.由此得到k的取值.（3）一根大于3，一根小于3時(shí)，即x1＞3，x2＜3. 則k應(yīng)滿足條件：(x1－3)(x2－3)＜0，即x1x2－3(x1＋x2)＋9＜0. 由此得到k的取值.

解：∵Δ＝[－(2k－3)]2－4(2k－4)＝4k2－20k＋25＝(2k－5)2≥0，∴k取任何實(shí)數(shù)，方程都有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．設(shè)該方程的兩根為x1，x2，則由韋達(dá)定理，得x1＋x2＝2k－3，x1x2＝2k－4.

(1)若使x1＞0，x2＞0，則k應(yīng)滿足條件：解得,∴當(dāng)k＞2時(shí)，方程有兩個(gè)正根．

(2)若使x1＞0，x2＜0且|x1|＞|x2|，則k應(yīng)滿足條件：解得,∴當(dāng)＜k＜2時(shí)，兩根異號(hào)，且正根的絕對(duì)值較大．

(3)若使x1＞3，x2＜3，則k應(yīng)滿足條件：(x1－3)(x2－3)＜0，即x1x2－3(x1＋x2)＋9＜0.∴2k－4－3(2k－3)＋9＜0，k＞.∴當(dāng)k＞時(shí)，方程一根大于3，另一根小于3.