Question

（10分）已知某隧道截面積拱形為拋物線形，拱頂離地面10米，底部款20米．

（1）建立如圖1所示的平面直角坐標系，使y軸為拋物線的對稱軸，x軸在地面上．求這條拋物線的解析式；

（2）維修隊對隧道進行維修時，為了安全，需要在隧道口搭建一個如圖2所示的矩形支架AB-BC-CD（其中B、C兩點在拋物線上，A、D兩點在地面上），現有總長為30米的材料，那么材料是否夠用？

（3）在（2）的基礎上，若要求矩形支架的高度AB不低于5米，已知隧道是雙向行車道，正中間用護欄隔開，則同一方向行駛的兩輛寬度分別為4米，高度不超過5米的車能否并排通過隧道口？（護欄寬度和兩車間距忽略不計）

Answer 1

（1）；（2）夠用；（3）不能．

【解析】

試題分析：（1）設，表示出與x軸的一個交點和與y軸的交點，然后利用待定系數法求二次函數解析式解答；

（2）設點C的坐標為（m，n），然后列式整理得到所需材料表達式，再根據二次函數的最值問題求出所需材料的最大值，然后判斷即可；

（3）令n=5求出m的值，然后與車的寬度4米比較即可得解．

試題解析：（1）設，

由題意拋物線經過點（10，0），（0，10），則，解得：，

故拋物線的解析式為；

（2）設點C的坐標為（m，n），

則所需材料長度=，

∵，

∴當m=5時，所需材料最多，為25米，

∴總長為30米的材料夠用；

（3）當時，，解得，

∵，∴高度不超過5米的車不能并排通過隧道口．

考點：1．二次函數綜合題；2．二次函數的應用．

考點分析： 考點1：二次函數 定義：
一般地，如果（a，b，c是常數，a≠0），那么y叫做x 的二次函數。
①所謂二次函數就是說自變量最高次數是2;
②二次函數（a≠0）中x、y是變量，a，b，c是常數，自變量x 的取值范圍是全體實數，b和c可以是任意實數，a是不等于0的實數，因為a=0時，變為y=bx+c若b≠0,則y=bx+c是一次函數，若b=0，則y=c是一個常數函數。
③二次函數（a≠0）與一元二次方程（a≠0）有密切聯系，如果將變量y換成一個常數，那么這個二次函數就是一個一元二次函數。 二次函數的解析式有三種形式：
（1）一般式：（a，b，c是常數，a≠0）；
（2）頂點式： （a，h，k是常數，a≠0）
（3）當拋物線與x軸有交點時，即對應二次好方程有實根x₁和x₂存在時，根據二次三項式的分解因式，二次函數可轉化為兩根式。如果沒有交點，則不能這樣表示。

二次函數的一般形式的結構特征：
①函數的關系式是整式；
②自變量的最高次數是2；
③二次項系數不等于零。 二次函數的判定：
二次函數的一般形式中等號右邊是關于自變量x的二次三項式；
當b=0，c=0時，y=ax²是特殊的二次函數；
判斷一個函數是不是二次函數，在關系式是整式的前提下，如果把關系式化簡整理（去括號、合并同類項）后，能寫成（a≠0）的形式，那么這個函數就是二次函數，否則就不是。 試題屬性

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