Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中點，連結AD，在AD的延長線上取一點E，連結BE，CE.

（1）求證：△ABE≌△ACE
（2）當AE與AD滿足什么數量關系時，四邊形ABEC是菱形？并說明理由.

Answer 1

（1）見解析（2）當AE=2AD時，四邊形ABEC是菱形。

（1）證明：∵AB=AC，BD=CD，
∴△ABC中，AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，
在△ABE和△ACE中

∴△ABE≌△ACE
（2）當AE=2AD時，四邊形ABEC是菱形。
∵AE=2AD時，AD=DE，
又∵BD=CD，且AE⊥BC
對角線互相平分且垂直的四邊形是菱形，所以，四邊形ABEC是菱形。
由題意可知三角形三線合一，結合SAS可得△ABE≌△ACE．四邊形ABEC相鄰兩邊AB=AC，只需要證明四邊形ABEC是平行四邊形的條件，當AE=2AD（或AD=DE或DE= AE）時，根據對角線互相平分，可得四邊形是平行四邊形