Question

【題目】已知正方形，點為射線上的一點（不和點、重合），過作，且，過作交射線于．若的面積與四邊形的面積之比為，則________．

Answer 1

【答案】或．

【解析】

作EM⊥BA的延長線于點M，延長EF交BC的延長線于點G，易證△PEM≌△PBC，四邊形CDEF為平行四邊形，則ME=BP=FG=AB+AP，AP=CG．設AB=BC=1，AP=CG=x，用含x的代數式分別表示S△EFC，S四邊形PEFC，根據△EFC與四邊形PEFC的面積之比為 3：20，列出關于x的方程，解方程求出x的值，然后根據正切函數的定義即可求出tan∠BPC的值．

作EM⊥BA的延長線于點M，延長EF交BC的延長線于點G，

∵PE⊥PC，

∴∠MPE+∠BPC=90°，

∵∠MPE+∠MEP=90°，

∴∠MEP=∠BPC，

在Rt△PBC和Rt△EMP中

∴Rt△PBC≌Rt△EMP（AAS）

∴PM=BC，ME=PB；

∴PM=AB，

∴PM+PA=AB+PA，

∴MA=ME，

∵MA=ME，AM⊥EM，

∴∠MAE=45°，

∴PB∥EF，

∴四邊形ABFE是平行四邊形，

∴AB=EF，

∴CD=EF，

∴四邊形EFCD是平行四邊形，

∴ME=BP=FG=AB+AP，AP=CG，

設AB=BC=1，AP=CG=x，則

S四邊形PEFC=S矩形BMEG﹣2S三角形BPC﹣S三角形FCG=（2+x）（1+x）﹣（1+x）﹣（1+x）x= x2+x+1，

S△EFC=x；

∵△EFC與四邊形PEFC的面積之比為，

∴x：（x2+x+1）=3：20，

解得x=3或，

∵tan∠BPC=，

∴當x=3時，tan∠BPC=；

當x=時，tan∠BPC=．

tan∠BPC=或．

故答案是：或．