Question

【題目】如圖，二次函數y=﹣x2+bx+c的圖象與x軸交于點A(﹣1，0)，B(2，0)，與y軸相交于點C．

（1）求二次函數的解析式；

（2）若點E是第一象限的拋物線上的一個動點，當四邊形ABEC的面積最大時，求點E的坐標，并求出四邊形ABEC的最大面積；

（3）若點M在拋物線上，且在y軸的右側．⊙M與y軸相切，切點為D．以C，D，M為頂點的三角形與△AOC相似，請直接寫出點M的坐標．

Answer 1

【答案】（1）二次函數的解析式為y=﹣x2+x+2；（2）點E的坐標為(1，2)，且四邊形ABEC的最大面積為4；（3）點M的坐標為(， )，(， )，(3，－4) .

【解析】試題分析：（1）把A、B的坐標代入即可得到答案；

（2）設 E（a，b），先表示出四邊形ABEC的面積S，再配方即可；

（3）分兩種情況討論， ，或．

試題解析：（1）∵ 二次函數的圖象與x軸相交于點A（﹣1，0），B（2，0），

∴，解得： ，∴ 二次函數的解析式為；

（2）如圖1．

∵二次函數的解析式為與y軸相交于點C，∴ C（0，2），設 E（a，b），且a >0，b >0，∵ A（-1，0），B（2，0），∴ OA=1，OB=2，OC=2，則S四邊形ABEC= = ，∵ 點 E（a，b）是第一象限的拋物線上的一個動點，∴，∴，∴ 當四邊形ABEC的面積最大時，點E的坐標為（1，4），且四邊形ABEC的最大面積為4；

（3）如圖2．

設M（m，n），且m>0，∵ 點M在二次函數的圖象上，∴，∵ ⊙M與y軸相切，切點為D，∴ ∠MDC =90°，∵ 以C，D，M為頂點的三角形與△AOC相似，∴，或，

①當n >2時， ，解得 m1=0（舍去），m2=， 或m3=0（舍去），m4=-1（舍去）；

②同理可得，當n<2時，m1=0（舍去） ，m2=，或m3=0（舍去），m4=3；

綜上，滿足條件的點M的坐標為（， ），（， ），（3，-4）．