Question

【題目】已知,矩形中,,,的垂直平分線分別交、于點、,垂足為.

(1)如圖,連接、.求證四邊形為菱形,并求的長；

(2)如圖,動點、分別從、兩點同時出發,沿和各邊勻速運動一周.即點自→→→停止,點自→→→停止.在運動過程中,

①已知點的速度為每秒5,點的速度為每秒4,運動時間為秒,當、、、四點為頂點的四邊形是平行四邊形時,求的值.

②若點、的運動路程分別為、(單位:,),已知、、、四點為頂點的四邊形是平行四邊形,寫出與滿足的數量關系式.(直接寫出答案，不要求證明)

Answer 1

【答案】（1）證明略，（2） ①秒. ②與滿足的函數關系式是

【解析】

試題（1）先證明四邊形AFCE為平行四邊形，再根據對角線互相垂直平分的平行四邊形是菱形作出判定；根據勾股定理即可求得AF的長；

（2）分情況討論可知，當P點在BF上、Q點在ED上時，才能構成平行四邊形，根據平行四邊形的性質列出方程求解即可.

試題解析：（1）證明:①∵四邊形是矩形

∴∥

∴,

∵垂直平分，垂足為

∴

∴≌

∴

∴四邊形為平行四邊形

又∵

∴四邊形為菱形

②設菱形的邊長，則

在中，

解得

∴

（2）①顯然當點在上時,點在上，此時、、、四點不可能構成平行四邊形；同理點在上時，點在或上，也不能構成平行四邊形.因此只有當點在上、點在上時，才能構成平行四邊形

∴以、、、四點為頂點的四邊形是平行四邊形時,

∵點的速度為每秒10cm，點的速度為每秒6cm，運動時間為秒

∴,

∴，解得

∴以、、、四點為頂點的四邊形是平行四邊形時,秒.

②由題意得，以、、、四點為頂點的四邊形是平行四邊形時，點、在互相平行的對應邊上.

分三種情況:

i）如圖1，當點在上、點在上時，,，即

ii）如圖2，當點在上、點在上時，,，即

iii）如圖3，當點在上、點在上時，,，即

綜上所述，與滿足的函數關系式是