Question

【題目】如圖，在△ABC中，點O是AC邊上的一個動點，過點O作直線MN∥BC，設MN交∠BCA的角平分線于點E，交∠BCA的外角平分線于點F．

（1）求證：EO=FO；

（2）當點O運動到何處時，四邊形AECF是矩形？并證明你的結論．

（3）當點O運動到何處，且△ABC滿足什么條件時，四邊形AECF是正方形？并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）運動到AC的中點時；（3）運動到AC的中點時，且△ABC滿足∠ACB為直角的直角三角形時

【解析】試題解析：（1）根據平行線性質和角平分線性質及，由平行線所夾的內錯角相等易證；

（2）當點O運動到AC的中點時，四邊形AECF是矩形，根據矩形的判定方法，即一個角是直角的平行四邊形是矩形可證．

（3））由OE=OF，OA=OC可判斷四邊形AECF為平行四邊形，再證明∠ECF=90°，則可判斷四邊形AECF為矩形，根據正方形的判定方法，當∠2=45°時，四邊形AECF為正方形，于是可得∠ACB=90°．

試題解析：（1）證明：∵CE平分∠ACB，

∴∠1=∠2，

又∵MN∥BC，

∴∠1=∠3，

∴∠3=∠2，

∴EO=CO，

同理，FO=CO，

∴EO=FO；

（2）解：當點O運動到AC的中點時，四邊形AECF是矩形．

理由如下：

∵EO=FO，點O是AC的中點．

∴四邊形AECF是平行四邊形，

∵CF平分∠BCA的外角，

∴∠4=∠5，

又∵∠1=∠2，

∴∠2+∠4=×180°=90°．

即∠ECF=90度，

∴四邊形AECF是矩形．

（3）∵OE=OF，OA=OC，

∴四邊形AECF為平行四邊形，

∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACB的外角，

∴∠ECF=90°，

∴四邊形AECF為矩形，

當∠2=45°時，四邊形AECF為正方形，

此時∠ACB=90°，

即當點O是AC的中點，△ABC中∠ACB=90°時，四邊形AECF是正方形．