Question

【題目】如圖，在中，，點P是邊上的動點（不與點A，B重合）．把沿過點P的直線l折疊，點B的對應點是點D，折痕為．

（1）若點D恰好在邊上．

①如圖1，當時，連結，求證：．

②如圖2，當，且，，求與的周長差．

（2）如圖3，點P在邊上運動時，若直線l始終垂直于，的面積是否變化？請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）12；（3）不變，理由見解析．

【解析】

（1）①由折疊的性質和平行線的性質可得BQ=QC，再由等腰三角形三線合一的性質即可得出結論；

②先根據勾股定理求出AP的長，再根據三角形周長的求法即可得出結論；

（2）根據折疊的性質得出DP=BP，AP=CP，再根據SAS證明△DPA≌△BPC，得出S△ACD=S△ABC，即可得出結論．

（1）①由折疊的性質可知：BQ=DQ，∠BQP=∠PQD．

∵PQ∥AC，∴∠BQP=∠C，∠PQD=∠QDC，

∴∠C=∠QDC，∴DQ=CQ，

∴BQ=QC．

∵AB=AC，∴AQ⊥BC．

②設AP=x，則AB=AC=x+3．

∵AC=AD+DC=AD+2，∴AD=x+1．

∵DP⊥AB，∴∠APD=90°，

∴，

∴，

解得：x=4．

△ABC的周長-△CDQ的周長=AB+AC+BC-（DC+CQ+DQ）

=AB+AC+BC-（DC+CQ+BQ）

=AB+AC+BC-（DC+BC）

=AB+AC-DC

=2AB-DC

=2（x+3）-2

=2x+4

=2×4+4

=12．

（2）S△ACD不會發生變化．理由如下：

連接BD，

∵B是關于直線l的對稱點，

∴ ,

∴

∵S△ACD=S△ABC是固定不變的，

∴S△ACD不會發生變化．