Question

【題目】在Rt△ACB和Rt△AEF中，∠ACB＝∠AEF＝90°，若點P是BF的中點，連接PC，PE．

(1) 如圖1，若點E，F分別落在邊AB，AC上，求證：PC＝PE；

(2) 如圖2，把圖1中的△AEF繞著點A順時針旋轉，當點E落在邊CA的延長線上時，探索PC與PE的數量關系，并說明理由．

(3) 如圖3，把圖2中的△AEF繞著點A順時針旋轉，點F落在邊AB上．其他條件不變，問題(2)中的結論是否發生變化？如果不變，請加以證明；如果變化，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）PC＝PE，理由見解析；（3）成立，理由見解析

【解析】

（1）利用直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，即可；

（2）先判斷△CBP≌△HPF，再利用直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半；

（3）先判斷△DAF≌△EAF，再判斷△DAP≌△EAP，然后用比例式即可；

解：（1）證明：如圖：

∵∠ACB＝∠AEF＝90°，

∴△FCB和△BEF都為直角三角形．

∵點P是BF的中點，

∴CP＝BF，EP＝BF，

∴PC＝PE．

（2）PC＝PE理由如下：

如圖2，延長CP，EF交于點H，

∵∠ACB＝∠AEF＝90°，

∴EH//CB，

∴∠CBP＝∠PFH，∠H＝∠BCP，

∵點P是BF的中點，

∴PF＝PB，

∴△CBP≌△HFP(AAS)，

∴PC＝PH，

∵∠AEF＝90°，

∴在Rt△CEH中，EP＝CH，

∴PC＝PE．

（3）(2)中的結論，仍然成立，即PC＝PE，理由如下：

如圖3，過點F作FD⊥AC于點D，過點P作PM⊥AC于點M，連接PD，

∵∠DAF＝∠EAF，∠FDA＝∠FEA＝90°，

在△DAF和△EAF中，

∴△DAF≌△EAF(AAS)，

∴AD＝AE，

在△DAP≌△EAP中，

∴△DAP≌△EAP (SAS)，

∴PD＝PF，

∵FD⊥AC，BC⊥AC，PM⊥AC，

∴FD//BC//PM，

∴，

∵點P是BF的中點，

∴DM＝MC，

又∵PM⊥AC，

∴PC＝PD，

又∵PD＝PE，

∴PC＝PE．