Question

【題目】如圖，已知拋物線y=﹣x2+bx+c（b，c是常數）經過A（0，2）、B（4，0）兩點．

（1）求該拋物線的解析式和頂點坐標；

（2）作垂直x軸的直線x=t，在第一象限交直線AB于M，交這條拋物線于N，求當t取何值時，MN有最大值？最大值是多少？

（3）在（1）的情況下，以A、M、N、D為頂點作平行四邊形，請直接寫出第四個頂點D的所有坐標（直接寫出結果，不必寫解答過程）

Answer 1

【答案】（1）拋物線解析式為y=﹣x2+x+2；拋物線的頂點坐標為（，）；（2）t=2時，MN有最大值，最大值為4；（3）D點坐標為（0，6）或（0，﹣2）或（4，4）．

【解析】分析：（1）把A、B兩點坐標代入拋物線y=﹣x2+bx+c得關于b、c方程組，則解方程組即可得到拋物線解析式；然后把一般式配成頂點式得到拋物線的頂點坐標；

（2）先利用待定系數法求出直線AB的解析式為y=﹣x+2，設N（t，﹣t2+t+2）（0＜t＜4），則N（t，﹣t+2），則MN=﹣t2+t+2﹣（﹣t+2），然后利用二次函數的性質解決問題；

（3）由（2）得N（2，5），M（2，1），如圖，利用平行四邊形的性質進行討論：當MN為平行四邊形的邊時，利用MN∥AD，MN=AD=4和確定定義D點坐標，當MN為平行四邊形的對角線時，利用AN∥MN，AN=MD和點平移的坐標規律寫出對應D點坐標．

詳解：（1）把A（0，2）、B（4，0）代入拋物線y=﹣x2+bx+c得，解得：，∴拋物線解析式為y=﹣x2+x+2；

∵y=﹣x2+x+2=﹣（x﹣）2+，∴拋物線的頂點坐標為（）；

（2）設直線AB的解析式為y=mx+n，把A（0，2）、B（4，0）代入得：，解得：，∴直線AB的解析式為y=﹣x+2，設N（t，﹣t2+t+2）（0＜t＜4），則N（t，﹣t+2），∴MN=﹣t2+t+2﹣（﹣t+2）=﹣t2+4t =﹣（t﹣2）2+4，

當t=2時，MN有最大值，最大值為4；

（3）由（2）得N（2，5），M（2，1），如圖，當MN為平行四邊形的邊時，MN∥AD，MN=AD=4，則D1（0，6），D2（0，﹣2），當MN為平行四邊形的對角線時，AN∥MN，AN=MD，由于點A向右平移2個單位，再向上平移3個單位得到N點，則點M向右平移2個單位，再向上平移3個單位得到D點，則D3的坐標為（4，4）．

綜上所述：D點坐標為（0，6）或（0，﹣2）或（4，4）．