Question

已知：拋物線C₁：。如圖（1），平移拋物線C₁得到拋物線C₂，C₂經過C₁的頂點O和A（2，0），C₂的對稱軸分別交C₁、C₂于點B、D。

（1）求拋物線C₂的解析式；

（2）探究四邊形ODAB的形狀并證明你的結論；

（3）如圖（2），將拋物線C₂向m個單位下平移（m＞0）得拋物線C₃，C₃的頂點為G，與y軸交于M。點N是M關于x軸的對稱點，點P（）在直線MG上。問：當m為何值時，在拋物線C₃上存在點Q，使得以M、N、P、Q為頂點的四邊形為平行四邊形？

Answer 1

解：（1）設拋物線C₂的解析式為，把A（2，0）代入得，。

∴拋物線C₂的解析式為。

（2）四邊形ODAB是正方形，理由如下：

設BD與x軸交于點E，

∵，

∴D（1，－1），B(1，1)，E(1，0)。

∴OE=EA=ED=EB=1，且OA⊥BD，

∴ODAB為正方形。              

（3）設拋物線C₃的解析式為。

則M（0，），N（0，），

，∴G（1，）。

設直線MG為，則，

解得，

∴直線MG為。

如圖，若P、M、N、R四點構成平行四邊形，

只能有三種情況，而顯然R在第三象限不可能，

∴R只可能在四象限或二象限。

①     若R在第四象限，∵M、N關于點O對稱，

所以P、R也關于點O對稱，

∴R（），

過N作NQ∥PM，

∴直線NQ為，

當時，，

∴R在直線NR上。

把R（）代入，得

∵，∴。                  

②若R在第二象限，則PR∥MN，PM∥NR,，且R在NQ上

∵MN⊥x軸，∴PR⊥x軸，則R（）

∵R在NQ上，

∴，

又∵R在拋物線C₃上，則

∵，∴。    

∴當或時，在拋物線C₃上存在點Q，使得以M、N、P、Q為頂點的

四邊形為平行四邊形。