Question

（2009•黃浦區一模）如圖，二次函數y=ax²+bx+c的圖象經過點A（3，0），B（-1，0），C（0，3）．
（1）求此函數的解析式；
（2）用配方法（寫出配方過程）將此函數化為y=a（x+m）²+k的形式，并寫出其頂點坐標；
（3）在線段AC上是否存在點P（不含A、C兩點），使△ABP與△ABC相似？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知了拋物線圖象上三點的坐標，即可用待定系數法求出拋物線的解析式；
（2）用配方法將拋物線解析式化為頂點式，然后求出其頂點坐標；
（3）可分兩種情況：
①△ABP∽△ABC，此時AB：AB=AP：AC，P、C重合，此種情況不合題意；
②△ABP∽△ACB，得AB：AC=AP：AB，由此可求出AP的長；
易求得直線AC的解析式，可根據直線AC的解析式設出P點的坐標，再由AP的長求出P點的坐標．
解答：解：（1）由題意得：，（2分）
解得：；（1分）
∴此函數解析式為y=-x²+2x+3；（1分）

（2）y=-x²+2x+3=-（x²-2x+1）+3+1（2分）=-（x-1）²+4；（1分）
∴頂點為（1，4）；（1分）

（3）假設存在點P，使△ABP與△ABC相似，
則或；
當時，AP=AC；（不合題意，舍去）（1分）
當時，；（1分）
由題意易得直線AC的解析式為：y=-x+3，
設P（x，-x+3），其中0＜x＜3，
則，
解得：（舍去）；（1分）
∴．（1分）
點評：此題考查了二次函數解析式的確定、拋物線頂點坐標的求法、相似三角形的判定和性質等知識；需注意的是（3）題在不確定相似三角形對應邊和對應角的情況下，要分類討論，以免漏解．