Question

如圖所示，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）經過A（-1，0），B（3，0），C（0，3）三點，其頂點為D，連接BD，點P是線段BD上一個動點（不與B、D重合），過點P作y軸的垂線，垂足為E，連接BE．
（1）求拋物線的解析式，并寫出頂點D的坐標；
（2）如果P點的坐標為（x，y），△PBE的面積為s，求s與x的函數關系式，寫出自變量x的取值范圍，并求出s的最大值；
（3）在（2）的條件下，當s取得最大值時，過點P作x的垂線，垂足為F，連接EF，把△PEF沿直線EF折疊，點P的對應點為P′，請直接寫出P′點坐標，并判斷點P′是否在該拋物線上．

Answer 1

分析：（1）根據A，B，C三點的坐標，可以運用交點式法求得拋物線的解析式．再根據頂點的坐標公式求得拋物線的頂點坐標；
（2）根據B，D的坐標運用待定系數法求得直線BD的解析式，再根據三角形的面積公式以及y與x之間的函數關系式得到s與x之間的函數關系式．點P的橫坐標即x的值位于點D和點B的橫坐標之間．根據二次函數的頂點式即可分析其最值；
（3）根據（2）中的坐標得點E和點C重合．過P′作P′H⊥y軸于H，P′F交y軸于點M．要求P′H和OH的長．P′H的長可以運用直角三角形P′CM的面積進行計算．設MC=m，則MF=m，P′M=3-m，P′E=

3

2

．根據勾股定理列方程求解，得到直角三角形P′CM的三邊后，再根據直角三角形的面積公式進行計算．要求OH的長，已知點C的坐標，只需根據勾股定理進一步求得CH的長即可．把求得的點P的坐標代入拋物線解析式即可判斷點P′是否在該拋物線上．

解答：解：（1）設y=a（x+1）（x-3），（1分）
把C（0，3）代入，得a=-1，（2分）
∴拋物線的解析式為：y=-x²+2x+3．（4分）
頂點D的坐標為（1，4）．（5分）

（2）設直線BD解析式為：y=kx+b（k≠0），把B、D兩點坐標代入，
得

3k+b=0 k+b=4

，（6分）
解得k=-2，b=6．
∴直線BD解析式為y=-2x+6．（7分）
s=

1

2

PE•OE=

1

2

xy=

1

2

x（-2x+6）=-x²+3x，（8分）
∴s=-x²+3x（1＜x＜3）（9分）
s=-（x²-3x+

9

4

）+

9

4

=-（x-

3

2

）²+

9

4

．（10分）
∴當x=

3

2

時，s取得最大值，最大值為

9

4

．（11分）

（3）當s取得最大值，x=

3

2

，y=3，
∴P(

3

2

，3)．（5分）
∴四邊形PEOF是矩形．
作點P關于直線EF的對稱點P′，連接P′E、P′F．
法一：過P′作P′H⊥y軸于H，P′F交y軸于點M．
設MC=m，∵CO∥PF，
∴∠2=∠PFC，
由對稱可知∠PFC=∠P′FC，
∴∠2=∠P′FC，
則MF=MC=m，P′M=3-m，P′E=

3

2

．
在Rt△P′MC中，由勾股定理，(

3

2

)2+(3-m)2=m2．
解得m=

15

8

．
∵CM•P′H=P′M•P′E，
∴P′H=

9

10

．
由△EHP′∽△EP′M，可得

EH

EP′

=

EP′

EM

，EH=

6

5

．
∴OH=3-

6

5

=

9

5

．
∴P′坐標(-

9

10

，

9

5

)．（13分）
法二：連接PP′，交CF于點H，分別過點H、P′作PC的垂線，垂足為M、N．
易證△CMH∽△HMP．
∴

CM

MH

=

MH

PM

=

1

2

．
設CM=k，則MH=2k，PM=4k．
∴PC=5k=

3

2

，k=

3

10

．
由三角形中位線定理，PN=8k=

12

5

，P′N=4k=

6

5

．
∴CN=PN-PC=

12

5

-

3

2

=

9

10

，即x=-

9

10

．
y=PF-P′N=3-

6

5

=

9

5

∴P′坐標（-

9

10

，

9

5

）．（13分）
把P′坐標（-

9

10

，

9

5

）代入拋物線解析式，不成立，所以P′不在拋物線上．（14分）

點評：能夠熟練運用待定系數法求得函數的解析式；能夠根據二次函數的解析式求得函數的最值；能夠熟練運用幾何知識，如勾股定理、相似三角形的性質進行計算，注意數形結合的思想．