Question

【題目】如圖，△ABC內接于⊙O，BD為⊙O的直徑，BD與AC相交于點H，AC的延長線與過點B的直線相交于點E，且∠A=∠EBC．

（1）求證：BE是⊙O的切線；

（2）已知CG∥EB，且CG與BD、BA分別相交于點F、G，若BGBA=48，FG=，DF=2BF，求AH的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【解析】

試題分析：（1）欲證明BE是⊙O的切線，只要證明∠EBD=90°．

（2）由△ABC∽△CBG，得求出BC，再由△BFC∽△BCD，得=BFBD求出BF，CF，CG，GB，再通過計算發現CG=AG，進而可以證明CH=CB，求出AC即可解決問題．

試題解析：（1）連接CD，∵BD是直徑，∴∠BCD=90°，即∠D+∠CBD=90°，∵∠A=∠D，∠A=∠EBC，∴∠CBD+∠EBC=90°，∴BE⊥BD，∴BE是⊙O切線．

（2）∵CG∥EB，∴∠BCG=∠EBC，∴∠A=∠BCG，∵∠CBG=∠ABC

∴△ABC∽△CBG，∴，即=BGBA=48，∴BC=，∵CG∥EB，∴CF⊥BD，∴△BFC∽△BCD，∴=BFBD，∵DF=2BF，∴BF=4，在RT△BCF中，CF==，∴CG=CF+FG=，在RT△BFG中，BG==，∵BGBA=48，∴BA=，即AG=，∴CG=AG，∴∠A=∠ACG=∠BCG，∠CFH=∠CFB=90°，∴∠CHF=∠CBF，∴CH=CB=，∵△ABC∽△CBG，∴，∴AC==，∴AH=AC﹣CH=．