Question

【題目】在△ABC中，AB=BC，BD⊥AC于點D．
（1）如圖1，當∠ABC=90°時，若CE平分∠ACB，交AB于點E，交BD于點F． ①求證：△BEF是等腰三角形；
②求證：BD= （BC+BF）；
（2）點E在AB邊上，連接CE．若BD= （BC+BE），在圖2中補全圖形，判斷∠ACE與∠ABC之間的數(shù)量關系，寫出你的結論，并寫出求解∠ACE與∠ABC關系的思路．

Answer 1

【答案】
（1）解：①在△ABC中，AB=BC，BD⊥AC于點D，

∴∠ABD=∠CBD，AD=CD，

∵∠ABC=90°，

∴∠ACB=45°，

∵CE平分∠ACB，

∴∠ECB=∠ACE=22.5°，

∴∠BEF=∠CFD=∠BFE=67.5°，

∴BE=BF，

∴△BEF是等腰三角形；

②如圖，延長AB至M，使得BM=AB，連接CM，

∴BD∥CM，BD= CM，

∴∠BCM=∠DBC=∠ABD=∠BMC=45°，

∠BFE=∠MCE，

∴BC=BM，

由①得，∠BEF=∠BFE，BE=BF，

∴∠BFE=∠MCE=∠BEF，

∴EM=MC，

∴BD= EM= （BC+BF）

（2）解：∠ACE= ∠ABC．

求解∠ACE與∠ABC關系的思路：

a，延長AB至P，使得BP=AB，連接CP，與（1）②同理可得BD∥PC，BD= PC，BP=BC；

b，由BD= （BC+BE），可證明△PEC和△BEF分別是等腰三角形；

c，由∠BEF+∠BFE+∠EBF=180°以及∠FCD+∠DFC=90°，可得 =90°﹣∠DCF，即可證明∠ACE= ∠ABC．

【解析】（1）①根據(jù)∠ABC=90°，∠FDC=90°，以及∠ECB=∠ACE=22.5°，即可得到∠BEF=∠CFD=∠BFE=67.5°，即可判定△BEF是等腰三角形；②延長AB至M，使得BM=AB，連接CM，根據(jù)三角形中位線定理可得BD∥CM，BD= CM，再根據(jù)∠BFE=∠MCE=∠BEF，可得EM=MC，進而得出BD= EM= （BC+BF）；（2）與（1）②同理可得BD∥PC，BD= PC，BP=BC；由BD= （BC+BE），可證明△PEC和△BEF分別是等腰三角形；由∠BEF+∠BFE+∠EBF=180°以及∠FCD+∠DFC=90°，可得 =90°﹣∠DCF，即可得到∠ACE與∠ABC之間的數(shù)量關系：∠ACE= ∠ABC．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解等腰直角三角形的相關知識，掌握等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°．