Question

【題目】如圖，M為正方形ABCD邊AB的中點，E是AB延長線上的一點，MN⊥DM，且交∠CBE的平分線于N．

（1）求證：MD＝MN；

（2）若將上述條件中的“M為AB邊的中點”改為“M為AB邊上任意一點”，其余條件不變，則結論“MD＝MN”成立嗎？如果成立，請證明；如果不成立，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）成立，理由詳見解析.

【解析】

（1）要證MD=MN，就要構建△DFM≌△MBN，只需取AD的中點F，連接FM，依據正方形的性質可證
（2）只需作AF=AM，其余證法與1同．

解：(1)證明：取AD的中點F，連接MF.

∵四邊形ABCD是正方形，M是AB的中點，

∴∠A＝∠ABC＝90°，DF＝AF＝AM＝MB，

∴∠AFM＝45°.

又∵BN平分∠CBE，

∴∠EBN＝45°，

∴∠EBN＝∠AFM，

∴∠DFM＝∠MBN.

又∵∠FDM＋∠DMA＝90°，

∠BMN＋∠DMA＝90°，

∴∠FDM＝∠BMN，

∴△FDM≌△BMN，∴MD＝NM.

(2)結論“MD＝NM”仍然成立．

理由：與(1)類似，在AD上截取DF＝MB，連接M.

易得∠FDM＝∠BMN，∠DFM＝∠MBN，

從而△FDM≌△BMN，∴MD＝NM.