Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知點A（0，6），B（8，0）．點P從A點出發，以每秒1個單位的速度沿AO運動；同時，點Q從O出發，以每秒2個單位的速度沿OB運動，當Q點到達B點時，P、Q兩點同時停止運動．

（1）求運動時間t的取值范圍；
（2）t為何值時，△POQ的面積最大？最大值是多少？
（3）t為何值時，以點P、0、Q為頂點的三角形與Rt△AOB相似？

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵點A（0，6），B（8，0），

∴OA=6，OB=8，

∵點Q從O出發，以每秒2個單位的速度沿OB運動，當Q點到達B點時，P、Q兩點同時停止運動，

∴2t=8，

解得：t=4，

∴0≤t≤4；

（2）

解：根據題意得：經過t秒后，AP=t，OQ=2t，

∴OP=OA﹣AP=6﹣t，

∵△POQ的面積= OPOQ，

即△POQ的面積= （6﹣t）×2t=﹣t2+6t．

∵a=﹣1＜0，

∴△POQ的面積有最大值，

當t=﹣ =3時，△POQ的面積的最大值= =9，

即當t=3時，△POQ的面積最大，最大值是9．

（3）

解：①若Rt△POQ∽Rt△AOB時，

∵Rt△POQ∽Rt△AOB，

∴ ，

即 = ，

解得：t= ；

②若Rt△QOP∽Rt△AOB時，

∵Rt△QOP∽Rt△AOB，

∴ ，

即 ，

解得：t= ．

所以當t為 或 時，以點P、0、Q為頂點的三角形與Rt△AOB相似．

【解析】（1）由點Q從O出發，以每秒2個單位的速度沿OB運動，當Q點到達B點時，P、Q兩點同時停止運動，可得：2t=8，解得：t=4，進而可得：0≤t≤4；（2）先根據三角形的面積公式，用含有t的式子表示△POQ的面積=﹣t2+6t，然后根據二次函數的最值公式解答即可；（3）分兩種情況討論：①Rt△POQ∽Rt△AOB；②Rt△QOP∽Rt△AOB，然后根據相似三角形對應邊成比例，即可求出相應的t的值．
【考點精析】掌握相似三角形的性質和相似三角形的應用是解答本題的根本，需要知道對應角相等，對應邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形；測高：測量不能到達頂部的物體的高度，通常用“在同一時刻物高與影長成比例”的原理解決；測距：測量不能到達兩點間的舉例，常構造相似三角形求解．