Question

【題目】在平面直角坐標中，等腰Rt△ABC中，AB=AC，∠CAB=90°，A（0，a），B（b，0）．

（1）如圖1，若+（a-2）2=0，求△ABO的面積；

（2）如圖2，AC與x軸交于D點，BC與y軸交于E點，連接DE，AD=CD，求證：∠ADB=∠CDE；

（3）如圖3，在（1）的條件下，若以P（0，-6）為直角頂點，PC為腰作等腰Rt△PQC，連接BQ，求證：AP∥BQ．

Answer 1

【答案】（1）△ABO的面積=4；（2）證明見解析；（3）證明見解析．

【解析】

（1）根據絕對值和偶次方的非負性求出a，b，根據三角形的面積公式計算；

（2）作AF平分∠BAC交BD于F點，分別證明△ACE≌△BAF，△CED≌△AFD，根據全等三角形的性質證明；

（3）過C點作CM⊥y軸于M點，過D點作DN⊥y軸于N點，證明△ACM≌△BAO，根據全等三角形的性質得到CM=AO=2，AM=BO=4，證明四邊形ONQB為平行四邊形，得到答案．

解：（1）∵+（a-2）2=0，

∴2a-b=0，a-2=0，

解得，a=2，b=4，

∴A（0，2），B（4，0），

∴OA=2，OB=4，

∴△ABO的面積=×2×4=4；

（2）作AF平分∠BAC交BD于F點，

∵AB=AC，∠CAB=90°，

∴∠C=∠ABC=∠DAF=∠BAF=45°，

∵∠CAE+∠BAO=∠ABF+∠BAO=90°，

∴∠CAE=∠ABF，

在△ACE和△BAF中，

，

∴△ACE≌△BAF（ASA），

∴CE=AF，

在△CED和△AFD中，

，

∴△CED≌△AFD（SAS）

∴∠CDE=∠ADB；

（3）過C點作CM⊥y軸于M點，過D點作DN⊥y軸于N點，

則∠AMC=∠BOA=90°，

∵∠CAM+∠BAO=∠ABO+∠BAO=90°，

∴∠CAM=∠ABO，

在△ACM和△BAO中，

，

∴△ACM≌△BAO（AAS），

∴CM=AO=2，AM=BO=4，

∵A（0，2），P（0，-6），

∴AP=8，

∴PM=AP-AM=4，

在△PCM和△QPN中，

，

△PCM≌△QPN（AAS），

∴NQ=PM=4，

∴四邊形ONQB為平行四邊形，

∴AP∥BQ．