Question

（2012•西湖區一模）如圖，已知△ABC，AC=BC，∠C=90°．O是AB的中點，⊙O與AC，BC分別相切于點D與點E．點F是⊙O與AB的一個交點，連DF并延長交CB的延長線于點G．則∠CDG=

67.5°

，若AB=4

2

，則BG=

2

2

-2

．

Answer 1

分析：連接OD，由AC為圓O的切線，根據切線的性質得到OD與AC垂直，又AC=BC，且∠C=90°，得到三角形ABC為等腰直角三角形，得到∠A=45°，在直角三角形ABC中，由AC與BC的長，根據AB的長，又O為AB的中點，從而得到AO等于BO都等于AB的一半，求出AO與BO的長，再由OB-OF求出FB的長，同時由OD和GC都與AC垂直，得到OD與GC平行，得到一對內錯角相等，再加上對頂角相等，由兩對對應角相等的兩三角形相似得到三角形ODF與三角形GBF相似，由相似得比例，把OD，OF及FB的長代入即可求出GB的長．

解答：解：連接OD．
∵CD切⊙O于點D，
∴∠ODA=90°，∠DOA=45°，
∵OD=OF，
∴∠ODF=∠OFD=

1

2

∠DOA=22.5°，
∴∠CDG=∠CDO-∠ODF=90°-22.5°=67.5°．
∵AC為圓O的切線，
∴OD⊥AC，
又O為AB的中點，∴AO=BO=

1

2

AB=2

2

，
∴圓的半徑DO=FO=AOsinA=2

2

×

2

2

=2，
∴BF=OB-OF=2

2

-2．
∵GC⊥AC，OD⊥AC，
∴OD∥CG，
∴∠ODF=∠G，又∠OFD=∠BFG，
∴△ODF∽△BGF，
∴

OD

BG

=

OF

BF

，即

2

BG

=

2

2 2 -2

，
∴BG=2

2

-2．
故答案為：67.5°，2

2

-2．

點評：此題考查了切圓的綜合知識．在運用切線的性質時，若已知切點，連接切點和圓心，得垂直；若不知切點，則過圓心向切線作垂直，即“知切點連半徑，無切點作垂直”．圓與相似三角形，及三角函數相融合的解答題、與切線有關的性質與判定有關的證明題是近幾年中考的熱點，故要求學生把所學知識融匯貫穿，靈活運用．