Question

如圖⊙O是∆ABC的外接圓，且AB=AC，點D在弧BC上運動，過點D作DE//BC，DE交AB的延長線于點E，連結AD、BD

（1）求證∠ADB=∠E；
（2）當點D運動到什么位置時，DE是⊙O的切線？請說明理由；
（3）當AB=5，BC=6時，求⊙O的半徑.

Answer 1

（1）證明見解析；（2）當點D是弧BC的中點時，DE是⊙O的切線，理由見解析；(3) .

試題分析：(1)運用圓周角定理，以及平行線的性質得出角之間的關系，得出相等關系;
（2）當點D運動到弧BC中點時，DE是⊙O的切線，理由為：由D為弧BC中點，利用垂徑定理的逆定理得到AD垂直于BC，且AD過圓心，由BC與DE平行，利用與平行線中的一條垂直，與另一條也垂直得到AD與DE垂直，即可確定出DE為圓的切線．
（3）連接BO，AO，延長AO交BC于點F，由等腰三角形的性質得到AF與BC垂直，且F為BC的中點，求出BF的長，在直角三角形ABF中，理由勾股定理求出AF的長，設圓O的半徑為r，在直角三角形OBF中，由AF-AO表示出OF，利用勾股定理列出關于r的方程，求出方程的解即可得到圓的半徑長.
試題解析:（1）證明：在∆ABC中，∵AB=AC,∴∠ABC=∠C
∵DE//BC,∴∠ABC=∠E,∴∠E=∠C
∵∠ADB=∠C
∴∠ADB=∠E
(2)當點D是弧BC的中點時，DE是⊙O的切線
理由：當點D是弧BC的中點時，則有AD⊥BC，且AD過圓心O，如圖：

∵DE//BC,∴AD⊥ED
∴DE是⊙O的切線
(3)∵AB=5，∴AF=4
設⊙O的半徑為r，在Rt∆OBF中，DF=4-r，OB=r，BF=3.
∴r²=3²+(4-r)²，解得r=
∴⊙O的半徑是.
考點: 1.圓周角定理；2.平行線的性質；3.等腰三角形的性質．