Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，Rt△AOB的直角邊OA在x軸正半軸上，OB在y軸負半軸上，且OA=，OB=1，以點B為頂點的拋物線經過點A．

（1）求出該拋物線的解析式．

（2）第二象限內的點M，是經過原點且平分Rt△AOB面積的直線上一點．若OM=2，請判斷點M是否在（1）中的拋物線上？并說明理由．

（3）點P是經過點B且與坐標軸不平行的直線l上一點．請你探究：當直線l繞點B任意旋轉（不與坐標軸平行或重合）時，是否存在這樣的直線l，在直線l上能找到點P，使△PAB與Rt△AOB相似（相似比不為1）？若存在，求出直線l的解析式；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣1（2）點M不在拋物線y=x2﹣1上（3）存在三條直線l：y=﹣x﹣1，y=﹣x﹣1和y=x﹣1，在上述直線l上能找到點P，使Rt△PAB與Rt△AOB相似

【解析】

（1）依題意得到A與B的坐標，根據B為拋物線的頂點，設出拋物線的解析式，將A坐標代入求出a的值，即可確定出拋物線解析式；
（2）點M不在拋物線上，理由為：設拋物線與x軸的另一個交點為C，直線OM交AB于點D，由題意得到D為AB的中點，得到AD=OD=BD，得到∠MON=∠AOD=∠OAD=30°，作MN垂直于OC，求出MN與ON的長，確定出M坐標，代入拋物線解析式檢驗即可得到結果；
（3）存在，在Rt△AOB中，AO=，BO=1，AB=2，∠ABO=60°，∠BAO=30°，分三種情況考慮：①當∠ABP=90°時，若∠AP1B=60°，則△ABP1∽△AOB，由相似得比例，確定出P1的坐標，再由B坐標確定出直線l解析式即可；②當∠ABP=60°時，若∠BAP5=90°，則△ABP5∽△OBA，由相似得比例求出P5坐標，同理確定出直線l解析式；③當∠ABP=30°且直線l在AB上方時，若∠P6AB=90°，則△ABP6∽△OAB，由相似得比例求出P6坐標，同理確定出直線l解析式，綜上，得到直線l上能找到點P，使Rt△PAB與Rt△AOB相似時的所有解析式．

（1）依題意得：A（，0），B（0，﹣1），

∵B為拋物線的頂點，

∴設拋物線解析式為y=ax2﹣1，

將A坐標代入得：3a﹣1=0，即a=，

則拋物線解析式為y=x2﹣1；

（2）點M不在拋物線y=x2﹣1上，理由為：

設拋物線與x軸的另一個交點為C，直線OM交AB于點D，作MN⊥OC于點N，

由題意得：D為AB的中點，即OD=AD=BD，

∴∠MON=∠AOD=∠OAD=30°，

在Rt△OMN中，OM=2，

∴MN=1，ON=，即M（﹣，1），

∵y=×（﹣）2﹣1=0≠1，

∴點M不在拋物線y=x2﹣1上；

（3）存在，在Rt△AOB中，AO=，BO=1，AB=2，∠ABO=60°，∠BAO=30°，

分三種情況考慮：

①當∠ABP=90°時，若∠AP1B=60°，則△ABP1∽△AOB，

∴=，即BP1==，

∴OP1=，即P1（﹣，0），[這里也利用求出P2（﹣，2）或P3（，﹣2）或P4（，﹣4）]，

設直線l解析式為y=kx+b，將B與P1坐標代入得：，

解得：，

此時直線l解析式為y=﹣x﹣1；

②當∠ABP=60°時，若∠BAP5=90°，則△ABP5∽△OBA，

∴=，即BP5==4，

過P5作P5C⊥y軸于點G，在Rt△BGP5中，∠P5BG=60°，

∴P5G=2，BG=2，即P5（2，﹣3），

同理求出直線l解析式為y=﹣x﹣1；

③當∠ABP=30°且直線l在AB上方時，若∠P6AB=90°，則△ABP6∽△OAB，

∴=，即BP6==，

過P6作P6H⊥y軸于點H，在Rt△BP6H中，∠P6BH=30°，

∴P6H=，BH=2，

∴P6（，1），

同理得到直線l解析式為y=x﹣1，

綜上，存在三條直線l：y=﹣x﹣1，y=﹣x﹣1和y=x﹣1，在上述直線l上能找到點P，使Rt△PAB與Rt△AOB相似．