Question

【題目】如圖1，兩個完全相同的三角形紙片ABC和DEC重合放置，其中∠C＝90°，∠B＝∠E＝30°．

（1）操作發現：如圖2，固定△ABC，使△DEC繞點C旋轉，當點D恰好落在AB邊上時，填空：

①線段DE與AC的位置關系是　 　；

②設△BDC的面積為S1，△AEC的面積為S2，則S1與S2的數量關系是　 　．

（2）猜想論證

當△DEC繞點C旋轉到如圖3所示的位置時，請猜想（1）中S1與S2的數量關系是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．

（3）拓展探究

已知∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，BD＝CD，BC＝9，DE∥AB交BC于點E（如圖4）．若在射線BA上存在點F，使S△DCF＝S△BDE，請求相應的BF的長．

Answer 1

【答案】（1）①DE∥AC；②S1＝S2；（2）見解析;（3）BF的長為3或6．

【解析】

（1）①根據旋轉的性質可得AC=CD·，然后求出△ACD是等邊三角形，根據等邊三角形的性質可得∠ACD=60°，然后根據內錯角相等，兩直線平行解答；

②根據等邊三角形的性質可得AC=AD，再根據直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出AC=AB，然后求出AC=BD，再根據等邊三角形的性質求出點C到AB的距離等于點D到AC的距離，然后根據等底等高的三角形的面積相等解答；

（2）根據旋轉的性質可得BC=CE，AC=CD，再求出∠ACN=∠DCM，然后利用“角角邊”證明△ACN和△DCM全等，根據全等三角形對應邊相等可得AN=DM，然后利用等底等高的三角形的面積相等證明；

（3）過點D作DF1∥BE，求出四邊形BEDF1是菱形，根據菱形的對邊相等可得BE=DF1，然后根據等底等高的三角形的面積相等可知點F1為所求的點，過點D作DF2⊥BD，求出∠F1DF2=60°，從而得到△DF1F2是等邊三角形，然后求出DF1=DF2，再求出∠CDF1=∠CDF2，利用“邊角邊”證明△CDF1和△CDF2全等，根據全等三角形的面積相等可得點F2也是所求的點，然后在等腰△BDE中求出BE的長，即可得解

解：（1）①∵△DEC繞點C旋轉點D恰好落在AB邊上，

∴AC＝CD，

∵∠BAC＝90°﹣∠B＝90°﹣30°＝60°，

∴△ACD是等邊三角形，

∴∠ACD＝60°，

又∵∠CDE＝∠BAC＝60°，

∴∠ACD＝∠CDE，

∴DE∥AC；

故答案為DE∥AC；

②∵∠B＝30°，∠C＝90°，

∴CD＝AC＝AB，

∴BD＝AD＝AC，

根據等邊三角形的性質，△ACD的邊AC、AD上的高相等，

∴△BDC的面積和△AEC的面積相等（等底等高的三角形的面積相等），

即S1＝S2；

故答案為S1＝S2；

（2）如圖，過點D作DM⊥BC于M，過點A作AN⊥CE交EC的延長線于N，

∵△DEC是由△ABC繞點C旋轉得到，

∴BC＝CE，AC＝CD，

∵∠ACN+∠BCN＝90°，∠DCM+∠BCN＝180°﹣90°＝90°，

∴∠ACN＝∠DCM，

∵在△ACN和△DCM中，，

∴△ACN≌△DCM（AAS），

∴AN＝DM，

∴△BDC的面積和△AEC的面積相等（等底等高的三角形的面積相等），

即S1＝S2；

（3）如圖，過點D作DF1∥BE，易求四邊形BEDF1是菱形，

所以BE＝DF1，且BE、DF1上的高相等，

此時S△DCF1＝S△BDE；

過點D作DF2⊥BD，

∵∠ABC＝60°，F1D∥BE，

∴∠F2F1D＝∠ABC＝60°，

∵BF1＝DF1，∠F1BD＝∠ABC＝30°，∠F2DB＝90°，

∴∠F1DF2＝∠ABC＝60°，

∴△DF1F2是等邊三角形，

∴DF1＝DF2，過點D作DG⊥BC于G，

∵BD＝CD，∠ABC＝60°，點D是角平分線上一點，

∴∠DBC＝∠DCB＝×60°＝30°，BG＝BC＝，

∴BD＝3

∴∠CDF1＝180°﹣∠BCD＝180°﹣30°＝150°，

∠CDF2＝360°﹣150°﹣60°＝150°，

∴∠CDF1＝∠CDF2，

∵在△CDF1和△CDF2中，，

∴△CDF1≌△CDF2（SAS），

∴點F2也是所求的點，

∵∠ABC＝60°，點D是角平分線上一點，DE∥AB，

∴∠DBC＝∠BDE＝∠ABD＝×60°＝30°，

又∵BD＝3，

∴BE＝×3÷cos30°＝÷＝3（同求BD的方法），

∴BF1＝3，BF2＝BF1+F1F2＝3+3＝6，

故BF的長為3或6．