Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，C，D是⊙O上兩點，且，連接OC，BD，OD．

（1）求證：OC垂直平分BD；

（2）過點C作⊙O的切線交AB的延長線于點E，連接AD，CD．

①依題意補全圖形；

②若AD=6，，求CD的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）①詳見解析；②

【解析】

（1）根據等弧所對的圓心角相等可得∠COD =∠COB，由等角對等邊的性質可得OD = OB，繼而由線段垂直平分線的判定可求證結論；

（2）①根據題意補全圖形即可；

②先根據切線的性質和題（1）可知DB∥CE，進而可得∠AEC=∠ABD，繼而在Rt△ABD中，推出BD=8，AB=10，然后推導出DF=4，CF=2，繼而在Rt△CFD中，由勾股定理即可求出CD的長．

（1）證明：∵

∴∠COD =∠COB．

∵OD = OB，

∴OC垂直平分BD．

（2）解：①補全圖形，如圖所示．

②∵CE是⊙O切線，切點為C，

∴OC⊥CE于點C．

記OC與BD交于點F，由（1）可知OC垂直BD，

∴∠OCE=∠OFB=90°．

∴DB∥CE．

∴∠AEC=∠ABD．

在Rt△ABD中，AD=6，，

∴BD=8，AB=10．

∴OA= OB=OC=5．

由（1）可知OC平分BD，即DF= BF，

∴BF=DF=4．

∴．

∴CF=2．

在Rt△CFD中，．