Question

【題目】如圖，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，M為對角線BD延長線上一點，連接AM和CM，E為CM上一點，且滿足CB=CE，連接BE，交CD于點F．

（1）若∠AMB=30°，且DM=3，求BE的長；
（2）證明：AM=CF+DM．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖1中，

∵四邊形ABCD是菱形，∠BAD=60°，

∴△ABD，△BCD的是等邊三角形，

∴∠ABD=∠CBD=∠ADB=∠BAD=60°，BA=BC，

∵∠AMB=30°，∠ADB=∠AMB+∠DAM，

∴∠DAM=∠DMA=30°，

∴∠BAM=90°，DA=DM=AB=BC=CE=3，

在△BMA和△BMC中，

，

∴△BMA≌△BMC，

∴∠BCM=∠BAM=90°，

在Rt△BCE中，BE= =3 ．

（2）解：如圖2中，在BD上取一點G，使得BG=DF，連接CG交BE于O．

∵BG=DF，∠CBG=∠BDF，BD=BC，

∴△GBC≌△FDB，

∴∠BGC=∠BFD，∠DBF=∠BCG，

∴∠MGC=∠BFC，

∵∠COF=∠CBO+∠OCB=∠CBO+∠DBF=60°

在△COE中，∠ECO+∠EOC+∠CEO=180°，

在△BCF中，∠BFC+∠CBF+∠BCF=180°，

∵CB=CE，

∴∠CBE=∠CEO，∵∠BCF=∠COE=60°，

∴∠ECO=∠BFC=∠MGC，

∴MC=MG，

由（1）可知△BMA≌△BMC，

∴AM=MC=MG，

∵MG=DG+DM，

∵BD=CD，BG=DF，

∴DG=CF，

∴AM=CF+DM

【解析】（1）根據菱形的性質和全等三角形的性質可得出△BCE是等腰直角三角形，即可求出BE的長；（2）證兩線段之和等于一條線段可采取“截長補短法“，即在長線段BM上截取BG=DF，構造全等三角形△GBC≌△FDB，可推出CF=DG，再結合已知AM=CM=MG，得出結論.
【考點精析】根據題目的已知條件，利用菱形的性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握菱形的四條邊都相等；菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；菱形被兩條對角線分成四個全等的直角三角形；菱形的面積等于兩條對角線長的積的一半．