Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax2+1經過點A（4，﹣3），頂點為點B，點P為拋物線上的一個動點，l是過點（0，2）且垂直于y軸的直線，過P作PH⊥l，垂足為H，連接PO．

（1）求拋物線的解析式，并寫出其頂點B的坐標；

（2）①當P點運動到A點處時，計算：PO= ，PH= ，由此發現，PO PH（填“＞”、“＜”或“=”）；

②當P點在拋物線上運動時，猜想PO與PH有什么數量關系，并證明你的猜想；

（3）如圖2，設點C（1，﹣2），問是否存在點P，使得以P，O，H為頂點的三角形與△ABC相似？若存在，求出P點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線解析式為y=﹣x2+1，頂點B（0，1）；（2）①5，5，=；②結論：PO=PH，理由詳見解析;(3)點P坐標（1，）或（﹣1，）．

【解析】

試題分析：（1）把A點的坐標代入y=ax2+1求得a值，即可得函數解析式，根據解析式確定頂點坐標即可；（2）①求出PO、PH即可得結論；②結論：PO=PH．設點P坐標（m，﹣m2+1），根據兩點之間距離公式分別求得PH、PO長，即可得結論．（3）首先判斷PH與BC，PO與AC是對應邊，設點P（m，﹣ m2+1），由列出方程即可解決問題．

試題解析：（1）解：∵拋物線y=ax2+1經過點A（4，﹣3），

∴﹣3=16a+1，

∴a=﹣，

∴拋物線解析式為y=﹣x2+1，頂點B（0，1）．

（2）①當P點運動到A點處時，∵PO=5，PH=5，

∴PO=PH，

②結論：PO=PH．

理由：設點P坐標（m，﹣m2+1），

∵PH=2﹣（﹣m2+1）=m2+1

PO==m2+1，

∴PO=PH．

（3）∵BC=，AC=，AB=,

∴BC=AC，

∵PO=PH，

又∵以P，O，H為頂點的三角形與△ABC相似，

∴PH與BC，PO與AC是對應邊，

∴，設點P（m，﹣m2+1），

∴，

解得m=±1，

∴點P坐標（1，）或（﹣1，）．