Question

（2013•椒江區一模）已知，在平面直角坐標系xOy中，點A的坐標為（0，2），點P（m，n）是拋物線y=

1

4

x2+1上的一個動點．
（1）如圖1，過動點P作PB⊥x軸，垂足為B，連接PA，請通過測量或計算，比較PA與PB的大小關系：PA

=

PB（直接填寫“＞”“＜”或“=”，不需解題過程）；
（2）請利用（1）的結論解決下列問題：
①如圖2，設C的坐標為（2，5），連接PC，AP+PC是否存在最小值？如果存在，求點P的坐標；如果不存在，簡單說明理由；
②如圖3，過動點P和原點O作直線交拋物線于另一點D，若AP=2AD，求直線OP的解析式．

Answer 1

分析：（1）根據兩點間的距離公式、二次函數圖象上點的坐標特征推知PA=PB；
（2）過點P作PB⊥x軸于B，由（1）得PA=PB，所以要使AP+CP最小，只需當BP+CP最小，因此當C，P，B共線時，AP+PC取得最小值；
（3）分類討論：當點P位于第一象限和第二象限．先以點P位于第一象限進行分析：如圖，作DE⊥x軸于E，作PF⊥x軸于F，構建相似三角形△ODE∽△OPF，則該相似三角形的對應邊成比例，即

OE

OF

=

DE

PF

=

1

2

．故設設P（m，

1

4

m2+1），則D（

1

2

m，

1

8

m2+

1

2

）．由（1）中的結論得到等式

1

8

m2+

1

2

=

1

4

(

1

2

m)2+1，據此可以求得點P的坐標為（2

2

，3），則易求直線OP的解析式為y=

3 2

4

x．

解答：解：（1）如圖，∵點A的坐標為（0，2），點P（m，n），
∴AP²=m²+（n-2）²，①
∵點P（m，n）是拋物線y=

1

4

x2+1上的一個動點，
∴n=

1

4

m²+1，
∴m²=4n-4，②
由①②知，AP=n．
又∵PB⊥x軸，
∴PB=n，
∴PA=PB．
故填：=；

（2）①過點P作PB⊥x軸于B，由（1）得PA=PB，
所以要使AP+CP最小，只需當BP+CP最小，因此當C，P，B共線時取得，
此時點P的橫坐標等于點C（2，5）的橫坐標，
所以點P的坐標為（2，2）；

②當點P在第一象限時，如圖，作DE⊥x軸于E，作PF⊥x軸于F，
由（1）得：DA=DE，PA=PF
∵PA=2DA，∴PF=2DE，
∵△ODE∽△OPF，∴

OE

OF

=

DE

PF

=

1

2

設P（m，

1

4

m2+1），則D（

1

2

m，

1

8

m2+

1

2

）
∴

1

8

m2+

1

2

=

1

4

(

1

2

m)2+1，解得m=±2

2

∵點D在拋物線y=

1

4

x2+1上，（負舍去）
此時P（2

2

，3），直線OP的解析式為y=

3 2

4

x；
當P在第二象限時，
同理可求得直線OP的解析式為y=-

3 2

4

x．
綜上，所求直線OP的解析式為y=

3 2

4

x或y=-

3 2

4

x．

點評：本題考查了二次函數綜合題．其中涉及到了二次函數圖象上點的坐標特征，待定系數法求一次函數解析式以及軸對稱--路線最短問題等知識點．在求有關動點問題時要注意分析題意分情況討論結果．