Question

（2013•椒江區一模）我們把三角形內部的一個點到這個三角形三邊所在直線距離的最小值叫做這個點到這個三角形的距離．如圖1，PD⊥BC于D，PE⊥AC于E，PF⊥AB于F，如果PE≥PF≥PD，則稱PD的長度為點P到△ABC的距離．如圖2、圖3，在平面直角坐標系中，已知A（6，0），B（0，8），連接AB．
（1）若P在圖2中的坐標為（2，4），則P到OA的距離為

4

，P到OB的距離為

2

，P到AB的距離為

0.8

，所以P到△AOB的距離為

0.8

；
（2）若點Q是圖2中△AOB的內切圓圓心，求點Q到△AOB距離的最大值；
（3）若點R是圖3中△AOB內一點，且點R到△AOB的距離為1，請畫出所有滿足條件的點R所形成的封閉圖形，并求出這個封閉圖形的周長．（畫圖工具不限）

Answer 1

分析：（1）根據P點坐標得出P到OA，OB的距離即可，進而根據圖形的面積得出P到AB的距離；
（2）根據當點Q到△AOB三邊距離相等即Q為△AOB的內心時，Q到△AOB的距離最大，根據三角形面積求出即可；
（3）根據點P到三角形的距離定義得出R的移動范圍，進而得出點R所形成的封閉圖形形狀，進而得出答案．

解答：解：（1）如圖2，∵P在圖2中的坐標為（2，4），
∴P到OA的距離為：4，
P到OB的距離為：2，
∵（6，0），B（0，8），
∴OB=8，AO=6，則AB=10，
設P到AB的距離為x，
則

1

2

×2×BO+

1

2

×AO×4+

1

2

×AB×x=

1

2

×6×8，
解得：x=0.8，
故P到AB的距離為：0.8，所以P到△AOB的距離為：0.8；
故答案為：4，2，0.8，0.8；

（2）當點Q到△AOB三邊距離相等即Q為△AOB的內心時，
Q到△AOB的距離最大．
設這個最大值為h，則

1

2

×8×h+

1

2

×6×h+

1

2

×10×h=

1

2

×6×8，
解得：h=2．
∴點Q到△AOB距離的最大值為2．

（3）設點Q為△AOB的內心，
如圖3，連接QA，QB，QO，分別取QA，QB，QO的中點E，F，G，連接EF，FG，GE，
則△EFG即為所要畫的圖形．（只要畫圖正確即可，不必書寫畫圖過程），
由畫圖可知，△EFG∽△ABO，
由上題及已知條件可知，△EFG與△ABO的相似比為

1

2

，
因為△ABO的周長為24，所以△EFG的周長為12．

點評：此題主要考查了三角形內心的知識以及位似圖形的性質，根據已知結合三角形面積公式得出Q的位置是解題關鍵．