Question

【題目】如圖1，將1張菱形紙片ABC的（∠ADC＞90°）沿對角線BD剪開，得到△ABD和△BCD．再將△BCD以D為旋轉中心，按逆時針方向旋轉角α，使α=∠ADB，得到如圖2所示的△DB′C，連接AC、BB′，∠DAB=45°，有以下結論：①AC=BB′；②AC⊥AB；③∠CDA=90°；④BB′= AB，其中正確結論的序號是 ． （把所有正確結論的序號都填在橫線上）

Answer 1

【答案】①②③
【解析】解：如圖1，
∵四邊形ABCD為菱形，
∴AB=BC=CD=AD，∠A=∠C=45°，
∴∠ADB=∠ABD=67.5°，
∴α=2∠ADB=135°，
如圖2，

∵將△BCD以D為旋轉中心，按逆時針方向旋轉角135°，
∴DB=DB′，DC=DA，CB′=AB，∠7=∠3=67.5°，∠6=135°，
在△DBB′中，∠4=∠5= （180°﹣135°）=22.5°，
∴∠ABB′=∠3+∠4=90°，∠BB′C=∠5+∠7=90°，
∴AB∥CB′，
而AB=CB′，
∴四邊形ABB′C為矩形，
∴AC=BB′，AC⊥AB，所以①②正確，
∵∠CAB=90°，∠1=45°，
∴∠CAD=45°，
而DC=DA，
∴△ADC為等腰直角三角形，
∴∠CDA=90°；BB′= AB，所以③正確，④錯誤．
所以答案是①②③．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用菱形的性質和旋轉的性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握菱形的四條邊都相等；菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；菱形被兩條對角線分成四個全等的直角三角形；菱形的面積等于兩條對角線長的積的一半；①旋轉后對應的線段長短不變，旋轉角度大小不變；②旋轉后對應的點到旋轉到旋轉中心的距離不變；③旋轉后物體或圖形不變，只是位置變了．