Question

某商場購進一批單價為16元的日用品，銷售一段時間后，經調查發現，若按每件20元的價格銷售時，每月能賣360件；若按每件25元的價格銷售時，每月能賣210件，若每月銷售件數y（件）與價格x（元/件）滿足關系y=kx+b
（1）確定y與x的函數關系式，并指出x的取值范圍；
（2）為了使每月獲得利潤為1800元，問商品應定為每件多少元？
（3）為了獲得了最大的利潤，商品應定為每件多少元？

Answer 1

分析：（1）設出一次函數解析式y=kx+b，用待定系數法求解即可．
（2）設每月獲得利潤P，則p=（x-16）y，由（1）可知y=-30x+960（16≤x≤32），所以可求出每月獲得利潤為1800元時，商品應定為每件多少元；
（3）按照等量關系“每月獲得的利潤=（銷售價格-進價）×銷售件數”列出二次函數，并求得最值．

解答：解：（1）依題意設y=kx+b，則有

360=20k+b 210=25k+b

，
解得k=-30，b=960，
∴y=-30x+960（16≤x≤32）；

（2）設每月獲得利潤P，則p=（x-16）y，
∴P=（-30x+960）（x-16），
當每月獲得利潤為1800元，
即（-30x+960）（x-16）=1800，
x²-48x+572=0，
解得：x₁=22，x₂=26，
∴當每月獲得利潤為1800元時，商品應定為每件22元或26元；

（3）∵獲得利潤P=（-30x+960）（x-16）
=30（-x+32）（x-16）
=30（-x²+48x-512）
=-30（x-24）²+1920，
∴當x=24時，P有最大值，最大值為1920．
答：當價格為24元時，才能使每月獲得最大利潤，最大利潤為1920元．

點評：本題考查了二次函數在實際生活中的應用，重點是掌握求最值的問題．注意：數學應用題來源于實踐，用于實踐，在當今社會市場經濟的環境下，應掌握一些有關商品價格和利潤的知識，總利潤等于總收入減去總成本，然后再利用二次函數求最值．