Question

【題目】如圖，RtΔOAB中，點O（0，0），點A（6，0），點B（0，6），斜邊AB的中點C.

點E從點B出發，沿BO方向，點F從點O出發，沿OA方向，速度都是1個單位/秒，時間是t秒，連接CE、CF、EF，

（1）直接寫出C點坐標______.

（2）判斷ΔCEF的形狀，并證明；

（3）在0<t<6時，以C、E、F、O四點組成的四邊形面積是否發生變化？不變，求出這個值；變化，用含t的式子表示；

（4）在t>6時，以C、E、F、O四點組成的四邊形面積是否發生變化？不變，求出這個值；變化，用含t的式子表示.

Answer 1

【答案】（1）（3，3）；（2）△ECF是等腰直角三角形；（3）不變，面積為9；（4）發生變化，面積為t2-t.

【解析】

（1）根據中點坐標公式即可得答案；（2）如圖，連接OC，由A、B坐標可得△OAB為等腰直角三角形，根據等腰直角三角形的性質可得∠OBA=∠AOC=45°，OC=BC，OC⊥AB，根據點E和點F的運動速度相同可得BE=OF，即可證明△BCE≌△OCF，可得CF=CE，∠BCE=∠OCF，根據角的和差關系可得∠ECF=90°，即可證明△CEF是等腰直角三角形；（3）如圖，過C作CM⊥OA于M，CN⊥OB于N，由C點坐標可知CM=CN=3，根據S四邊形CEOF=S△AOB-S△BCE-S△ACF即可得答案；（4）如圖，連接OC，過點C作CD⊥OA于D，可得OD=3，根據題意可用t表示出AF和OE的長，根據S四邊形COEF=S△OFC+S△OEF即可得答案.

（1）∵A（6，0），B（0，6），C是AB中點，

∴C（3，3）

故答案為：（3，3）

（2）ΔCEF是等腰直角三角形.證明如下：

如圖，連接OC，

∵A（6，0），B（0，6），

∴OA=OB=6，

∴△OAB是等腰直角三角形，

∵C是AB中點，

∴∠OBA=∠AOC=45°，OC=BC，OC⊥AB，

∵點E和點F的速度都是1個單位/秒，

∴BE=OF，

在△BCE和△OCF中，，

∴△BCE≌△OCF，

∴CE=CF，∠BCE=∠OCF，

∴∠OCF+∠OCE=∠BCE+∠OCE=90°，即∠ECF=90°，

∴△ECF是等腰直角三角形.

（3）如圖，過C作CM⊥OA于M，CN⊥OB于N，

∵C（3，3），

∴CM=CN=3，

∴S四邊形CEOF=S△AOB-S△BCE-S△ACF=OAOB-BECN-AFCM，

∵BE=OF=t，OA=OB=6，CM=CN=3，

∴AF=6-t，

∴S四邊形CEOF=×6×6-×3t-(6-t)×3=18-t-×6+t=9，

∴在0<t<6時，以C、E、F、O四點組成的四邊形面積不變，面積為9.

（4）面積發生變化，理由如下：

如圖，連接OC，過點C作CD⊥OA于D，

∴OD=3，

∵t>6，

∴BE=OF=t，

∴OE=AF=t-6，

∴S四邊形COEF=S△OFC +S△OEF=OFCD+OEOF=t×3+t(t-6)=t2-t.

∴以C、E、F、O四點組成的四邊形面積發生變化，面積為t2-t.