Question

如圖在△ABC和△DEF中，AB=AC=DE=DF=5，BC=EF=6，移動△DEF，在整個移動過程中，點E始終在BC邊上（點E不經過B、C兩點），且DE經過點A，設EF與AC的交點為M．
（1）求證：△ABC≌△DEF；
（2）證明：∠CEM=∠BAE；
（3）若重疊部分△AEM為等腰三角形，求BE的長．

Answer 1

分析：（1）根據SSS定理可直接證明△ABC≌△DEF；
（2）首先根據△ABC≌△DEF可得∠B=∠DEF，再根據三角形內角與外角的關系可得結論∠CEM=∠BAE．
（3）首先得出AE≠AM，再利用當AM=EM時，以及當AM=EM時分別求出BE的長即可．

解答：證明：（1）
∵在△ABC和△DEF中，

AB=DE AC=DF BC=EF

，
∴△ABC≌△DEF（SSS）；

（2）∵△ABC≌△DEF，
∴∠B=∠DEF，
∵∠B+∠BAE=∠AEC=∠DEF+∠MEC，
∴∠CEM=∠BAE；

（3）解：∵∠AEF=∠B=∠C，且∠AME∠C，
∴∠AME＞∠AEF，
∴AE≠AM，
當AM=EM時，
在△ABE和△ECM中，
∵

∠C=∠B ∠CEM=∠BAE AE=EM

，
∴△ABE≌△ECM（AAS），
∴CE=AB=5，
∴BE=BC-EC=1，
當AM=EM時，∠MAE=∠MEA，
∴∠MAE+∠BAE=∠MEA+∠CEM，
即∠CAB=∠CEA，
又∵∠C=∠C，
∴△CAE∽△CBA，
∴

CE

AC

=

AC

CB

，
∴CE=

AC2

BC

=

25

6

，
∴BE=6-

25

6

=

11

6

．

點評：此題主要考查了相似三角形的判定與性質以及全等三角形的判定與性質等知識，利用分類討論得出BE的長是解題關鍵易錯點．