Question

12．（1）如圖1，若F點是射線BA上一動點，點F從點B開始向右移動，當點F運動到某個位置時恰好使得以△FBE為等腰三角形，請求出點F的所有可能的坐標；
（2）如圖2，若點C坐標為（2，-3），直線AE與BC相交于點P，請畫出圖形，并判斷直線AE與BC的位置關系，試證明你的結論；
（3）在（2）的條件下，若點G、H分別是射線PC、PE上的點，問是否存在以P、G、H為頂點的三角形與△PEB全等？若存在，請直接寫出點G、H的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）分三種情況討論：當EB=EF時，當BE=BF時，當FB=FE時，分別根據等腰三角形的性質，求得點F的所有可能的坐標；
（2）過C作CJ⊥AB于J，根據C（2，-3），B（-1，0），A（3，0），E（0，-3），得出△AOE、△BJC都是等腰直角三角形，進而得到∠OAE=∠JBC=45°，即可得出直線AE與BC的位置關系；
（3）分兩種情況進行討論，畫出圖形，可得存在G（0，-3），H（3，-4）或G（2，-3），H（-1，-4）使△PEB與△PGH全等．

解答 解：（1）分三種情況：
①如圖所示，當EB=EF時，BO=FO=1，

∴F（1，0）；
②如圖所示，當BE=BF時，

∵Rt△BOE中，BE=$\sqrt{10}$，
∴OF=BF-BO=$\sqrt{10}$-1，
∴F（$\sqrt{10}$-1，0）；
③當FB=FE時，設OF=x，則BF=x+1，

Rt△EOF中，EF=$\sqrt{{x}^{2}+{3}^{2}}$，
∴x+1=$\sqrt{{x}^{2}+{3}^{2}}$，
解得x=4，
∴F（4，0）；

（2）如圖所示，直線AE與BC的位置關系：AE⊥BC．

證明：過C作CJ⊥AB于J，
∵C（2，-3），B（-1，0），A（3，0），E（0，-3），
∴BJ=CJ=3，AO=EO=3，
∴△AOE、△BJC都是等腰直角三角形，
∴∠OAE=∠JBC=45°，
∴△ABP中，∠APB=90°，
∴AE⊥BC；

（3）存在以P、G、H為頂點的三角形與△PEB全等．

分兩種情況：
①如圖所示，當△PEB≌△PG₁H₁時，PG₁=PE，PH₁=PB，
此時G₁（0，-3），H₁（3，-4）；
②如圖所示，當△PEB≌△PG₂H₂時，PG₂=PE，PH₂=PB，
此時G₂（2，-3），H₂（-1，-4）；
綜上所述，存在G（0，-3），H（3，-4）或G（2，-3），H（-1，-4）使△PEB與△PGH全等．

點評 本題屬于三角形綜合題，主要考查了等腰三角形的性質、等腰直角三角形的判定與性質以及全等三角形的判定與性質的綜合應用，解決問題的關鍵是進行分類討論，畫出相應的圖形進行分析．解題時注意：全等三角形的對應邊相等．