Question

【題目】在平面直角坐標系中,直線y=-分別與x軸、y軸交于點A、B,且點A的坐標為(8,0),四邊形ABCD是正方形．

（1）填空:b= ；

（2）求點D的坐標；

（3）點M是線段AB上的一個動點(點A、B除外),試探索在x上方是否存在另一個點N,使得以O、B、M、N為頂點的四邊形是菱形?若不存在,請說明理由;若存在,請求出點N的坐標．

Answer 1

【答案】（1）6；（2）點D的坐標為（14，8）；（3）存在，點N的坐標為（4，3）或（，）．

【解析】

（1）把（8，0）代入y＝x＋b即可求得b的值；

（2）過點D作DE⊥x軸于點E，證明△OAB≌△EDA，即可求得AE和DE的長，則點D的坐標即可求得；

（3）分兩種情況討論：①當OM＝MB＝BN＝NO時，求出點M的坐標即可；②當OB＝BN＝NM＝MO＝6時，求出對角線交點的坐標即可．

解：（1）把（8，0）代入y＝x＋b，得：6＋b＝0，

解得：b＝6，

故答案是：6；

（2）如圖1，過點D作DE⊥x軸于點E，

∵在正方形ABCD中，∠BAD＝90°，

∴∠1＋∠2＝90°，

又∵在直角△OAB中，∠2＋∠3＝90°，

∴∠1＝∠3，

在△OAB和△EDA中，，

∴△OAB≌△EDA（AAS），

∴AE＝OB，DE＝OA，

∵b＝6，點A的坐標為(8，0)，

∴AE＝OB＝6，DE＝OA＝8，

∴OE＝8＋6＝14，

∴點D的坐標為（14，8）；

（3）存在．

①如圖2，當OM＝MB＝BN＝NO時，四邊形OMBN為菱形，則MN在OB的中垂線上，即M的縱坐標是3，

把y＝3代入y＝x＋6中，得x＝4，即M的坐標是（4，3），

則點N的坐標為（4，3）；

②如圖3，當OB＝BN＝NM＝MO＝6時，四邊形BOMN為菱形，連接ON交BM于F，

∵ON⊥BM，

∴直線ON的解析式為：y＝x，

聯立，解得：，

即點F的坐標為（，），

∴點N的坐標為（，），

綜上所述，滿足條件的點N的坐標為（4，3）或（，）．