Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，直線AB與軸交于點A，與軸交于點B，與直線OC：交于點C．

（1）若直線AB解析式為，

①求點C的坐標；

②求△OAC的面積．

（2）如圖2，作的平分線ON，若AB⊥ON，垂足為E， OA＝4，P、Q分別為線段OA、OE上的動點，連結AQ與PQ，試探索AQ＋PQ是否存在最小值？若存在，求出這個最小值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）①C（4，4）；②12；（2）存在，3

【解析】

試題（1）①聯立兩個函數式，求解即可得出交點坐標，即為點C的坐標；

②欲求△OAC的面積，結合圖形，可知，只要得出點A和點C的坐標即可，點C的坐標已知，利用函數關系式即可求得點A的坐標，代入面積公式即可；

（2）在OC上取點M，使OM=OP，連接MQ，易證△POQ≌△MOQ，可推出AQ+PQ=AQ+MQ；若想使得AQ+PQ存在最小值，即使得A、Q、M三點共線，又AB⊥OP，可得∠AEO=∠CEO，即證△AEO≌△CEO（ASA），又OC=OA=4，利用△OAC的面積為6，即可得出AM=3，AQ+PQ存在最小值，最小值為3．

（1）①由題意，

解得所以C（4，4）；

②把代入得，，所以A點坐標為（6，0），

所以；

（2）由題意，在OC上截取OM＝OP，連結MQ

∵OQ平分∠AOC，

∴∠AOQ=∠COQ，

又OQ=OQ，

∴△POQ≌△MOQ（SAS），

∴PQ=MQ，

∴AQ+PQ=AQ+MQ，

當A、Q、M在同一直線上，且AM⊥OC時，AQ+MQ最小．

即AQ+PQ存在最小值．

∵AB⊥ON，所以∠AEO=∠CEO，

∴△AEO≌△CEO（ASA），

∴OC=OA=4，

∵△OAC的面積為12，所以AM=12÷4=3，

∴AQ+PQ存在最小值，最小值為3．