Question

如圖，以扇形OAB的頂點(diǎn)O為原點(diǎn)，半徑OB所在的直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，0），若拋物線y=

1

2

x²+k與扇形OAB的邊界總有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是______．

Answer 1

由圖可知，∠AOB=45°，
∴直線OA的解析式為y=x，
聯(lián)立

y=x y= 1 2 x2+k

消掉y得，
x²-2x+2k=0，
△=b²-4ac=（-2）²-4×1×2k=0，
即k=

1

2

時(shí)，拋物線與OA有一個(gè)交點(diǎn)，
此交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，
∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，0），
∴OA=2，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（

2

，

2

），
∴交點(diǎn)在線段AO上；
當(dāng)拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（2，0）時(shí)，

1

2

×4+k=0，
解得k=-2，
∴要使拋物線y=

1

2

x²+k與扇形OAB的邊界總有兩個(gè)公共點(diǎn)，實(shí)數(shù)k的取值范圍是-2＜k＜

1

2

．
故答案為：-2＜k＜

1

2

．