Question

【題目】如圖，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，點F為邊AD上一點，連接BF交對角線AC于點G．

（1）如圖1，已知CF⊥AD于F，菱形的邊長為6，求線段FG的長度；

（2）如圖2，已知點E為邊AB上一點，連接CE交線段BF于點H，且滿足∠FHC=60°，CH=2BH，求證：AH⊥CE．

Answer 1

【答案】（1）；（2）答案見解析．

【解析】

試題（1）算出FC．在Rt△BFC中，由勾股定理得到BF的長，再由△AFG∽△CBG，得到FG=BF，即可得到結論；

（2）取CH的中點M，連接BM．證明△ABH△BCM，得到∠AHB=∠BMC=150°，從而得到∠AHE=90°，即可得到結論．

試題解析：解：（1）∵在菱形ABCD中，∠ABC=60°，∴AD=AB=BC=CD=AC，∠FAC=60°．∵菱形邊長為6，∴AF=DF=3，FC=AF= ．∵∠BCF=90°，∴BF==．∵AD//BC，∴△AFG△CBG．

∵CF⊥AD，∴AF=AD=BC，∴，∴FG=BF=．

（2）取CH的中點M，連接BM．

∵CH=2BH，∴CM=HM=BH，∴∠HBM=∠HMB．

∵∠FHC=60°，∠FHC=∠HBM+∠HMB，∴∠HMB=30°，∴∠BMC=150°．

∵∠FHC=∠HBC+∠HCB=60°，∠ABC=∠HBC+∠ABH=60°，∴∠HCB=∠ABH，∴△ABH△BCM（SAS），∴∠AHB=∠BMC=150°．

∵∠BHE=∠FHC=60°，∴∠AHE=∠AHB-∠BHE=90°，∴AH⊥CE．