Question

【題目】如圖，等腰三角形ABC中，AC＝BC＝10，AB＝12. 以BC為直徑作⊙O交AB于點D，交AC于點G，DF⊥AC，垂足為F，交CB的延長線于點E.

(1)求證：直線EF是⊙O的切線；

(2)求sin∠E的值.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2).

【解析】

（1）求證直線EF是⊙O的切線，只要連接OD證明OD⊥EF即可；
（2）根據∠E=∠CBG，可以把求sin∠E的值得問題轉化為求sin∠CBG，進而轉化為求Rt△BCG中，兩邊的比的問題．

(1)連結OD, CD.

∵BC是直徑,

∴CD⊥AB.

∵AC=BC,

∴D是AB的中點.

又O為BC中點,

∴OD∥AC.

∵DF⊥AC,

∴OD⊥EF.

∴直線EF是⊙O的切線.

(2)連結BG.

∵BC是直徑,

∴∠BGC=90°.

在Rt△BCD中, CD=.

∵AB·CD=AC·BG,

∴BG=.

在Rt△BGC中， CG=.

∵BG∥EF,

∴∠E=∠CBG.

∴sin∠E=sin∠CBG=.