Question

【題目】如圖，已知拋物線y=x2+bx+c的圖象與x軸的一個交點為B（4，0），另一個交點為A，且與y軸交于點C（0，4）．

（1）求直線BC與拋物線的解析式；

（2）若點M是拋物線在x軸下方圖象上的一動點，過點M作MN∥y軸交直線BC于點N，當 MN的值最大時，求△BMN的周長．

（3）在（2）的條件下，MN取得最大值時，若點P是拋物線在x軸下方圖象上任意一點，以BC為邊作平行四邊形CBPQ，設平行四邊形CBPQ的面積為S1，△ABN的面積為S2，且S1=4S2，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為y=x2﹣5x+4；（2）4+4；（3）點P的坐標為P（3，﹣2）．

【解析】試題（1）利用待定系數法及直線BC上的兩點列方程，從而得出一次函數的解析式；根據二次函數上面的兩點坐標列出兩個方程，從而確定二次函數的一次項系數和常數項；

（2）根據M,N的位置關系，易得他們的橫坐標相同，設出對應的坐標，M（x，x2﹣5x+4）（1＜x＜4），則N（x，﹣x+4），根據兩點坐標表示出MN的長度為MN=（﹣x+4）﹣（x2﹣5x+4）=﹣x2+4x，然后配方，求出MN的最大值；從而△BMN的周長得解；

（3）先求出△ABN的面積為S2,=3，再根據S1=4S2得S1=12.根據平行四邊形的底邊AB=，得出平行四邊形的高線BD=,再求x粥上面的BE的長度為3，得點E與點A重合，則過點A平行于BC的直線PQ為y=﹣x+1，最后與二次函數聯立方程組，得出點P的坐標.

試題解析：

（1）設直線BC的解析式為y=mx+n，

將B（4，0），C（0，4）兩點的坐標代入，

得， ，

∴

所以直線BC的解析式為y=﹣x+4；

將B（4，0），C（0，4）兩點的坐標代入y=x2+bx+c，

得， ，

∴

所以拋物線的解析式為y=x2﹣5x+4；

（2）如圖1，

設M（x，x2﹣5x+4）（1＜x＜4），則N（x，﹣x+4），

∵MN=（﹣x+4）﹣（x2﹣5x+4）=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4，

∴當x=2時，MN有最大值4；

∵MN取得最大值時，x=2，

∴﹣x+4=﹣2+4=2，即N（2，2）．

x2﹣5x+4=4﹣5×2+4=﹣2，即M（2，﹣2），

∵B（4.0）

可得BN=2，BM=2

∴△BMN的周長=4+2+2=4+4

（3）令y=0，解方程x2﹣5x+4=0，得x=1或4，

∴A（1，0），B（4，0），

∴AB=4﹣1=3，

∴△ABN的面積S2=×3×2=3，

∴平行四邊形CBPQ的面積S1=4S2=12．

如圖2，

設平行四邊形CBPQ的邊BC上的高為BD，則BC⊥BD．

∵BC=4 ，

∴BCBD=12，

∴BD= ．

過點D作直線BC的平行線，交拋物線與點P，交x軸于點E，在直線DE上截取PQ=BC，連接CQ，則四邊形CBPQ為平行四邊形．

∵BC⊥BD，∠OBC=45°，

∴∠EBD=45°，

∴△EBD為等腰直角三角形，由勾股定理可得BE=BD=3，

∵B（4，0），

∴E（1，0），

設直線PQ的解析式為y=﹣x+t，

將E（1，0）代入，得﹣1+t=0，解得t=1

∴直線PQ的解析式為y=﹣x+1．

解方程組， ，

得，或，

∵P1（1，0）在x軸上，舍去．

∴點P的坐標為P（3，﹣2）．