Question

如圖，AB是⊙O的直徑，點P是⊙O上的動點（P與A，B不重合），連結AP，PB，過點O分別作OE⊥AP于E，OF⊥BP于F．

（1）若AB=12，當點P在⊙O上運動時，線段EF的長會不會改變．若會改變，請說明理由；若不會改變，請求出EF的長；
（2）若AP=BP，求證四邊形OEPF是正方形．

Answer 1

（1）6（2）證明見解析

（1）EF的長不會改變．（2分）
∵OE⊥AP于E，OF⊥BP于F，
∴AE=EP，BF=FP，（2分）
∴（2分）
（2）∵AP=BP，
又∵OE⊥AP于E，OF⊥BP于F，
∴OE=OF，（3分）
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠P=90°，（1分）
∴OEPF是正方形．（2分）
（或者用，，
∵AP=BP，∴OE=OF證明）
（1）由于OE、OF都經過圓心，且垂直于AP、BP，由垂徑定理知E、F分別是AP、PB的中點，即EF是△APB的中位線，由此可得到EF=AB=6，因此EF的長不會改變；
（2）由圓周角定理知∠APB=90°，則可證得四邊形OEPF是矩形；而AP=BP，由（1）可得EP=FP，一組鄰邊相等的矩形是正方形，由此得證．