Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知拋物線y= x2+bx+c（b，c為常數）的頂點為P，等腰直角三角形ABC的頂點A的坐標為（0，﹣1），C的坐標為（4，3），直角頂點B在第四象限．

（1）如圖，若該拋物線過A，B兩點，求該拋物線的函數表達式；
（2）平移（1）中的拋物線，使頂點P在直線AC上滑動，且與AC交于另一點Q．
（i）若點M在直線AC下方，且為平移前（1）中的拋物線上的點，當以M、P、Q三點為頂點的三角形是等腰直角三角形時，求出所有符合條件的點M的坐標；
（ii）取BC的中點N，連接NP，BQ．試探究 是否存在最大值？若存在，求出該最大值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵等腰直角三角形ABC的頂點A的坐標為（0，﹣1），C的坐標為（4，3）

∴點B的坐標為（4，﹣1）．

∵拋物線過A（0，﹣1），B（4，﹣1）兩點，

∴ ，解得：b=2，c=﹣1，

∴拋物線的函數表達式為：y= x2+2x﹣1

（2）

解：方法一：

i）∵A（0，﹣1），C（4，3），

∴直線AC的解析式為：y=x﹣1．

設平移前拋物線的頂點為P0，則由（1）可得P0的坐標為（2，1），且P0在直線AC上．

∵點P在直線AC上滑動，∴可設P的坐標為（m，m﹣1），

則平移后拋物線的函數表達式為：y= （x﹣m）2+m﹣1．

解方程組： ，

解得 ，

∴P（m，m﹣1），Q（m﹣2，m﹣3）．

過點P作PE∥x軸，過點Q作QF∥y軸，則

PE=m﹣（m﹣2）=2，QF=（m﹣1）﹣（m﹣3）=2．

∴PQ=2 =AP0．

若以M、P、Q三點為頂點的等腰直角三角形，則可分為以下兩種情況：

① 當PQ為直角邊時：點M到PQ的距離為2 （即為PQ的長）．

由A（0，﹣1），B（4，﹣1），P0（2，1）可知，

△ABP0為等腰直角三角形，且BP0⊥AC，BP0=2 ．

如答圖1，過點B作直線l1∥AC，交拋物線y= x2+2x﹣1于點M，則M為符合條件的點．

∴可設直線l1的解析式為：y=x+b1，

∵B（4，﹣1），∴﹣1=4+b1，解得b1=﹣5，

∴直線l1的解析式為：y=x﹣5．

解方程組 ，得： ，

∴M1（4，﹣1），M2（﹣2，﹣7）．

②當PQ為斜邊時：MP=MQ=2，可求得點M到PQ的距離為 ．

如答圖2，取AB的中點F，則點F的坐標為（2，﹣1）．

由A（0，﹣1），F（2，﹣1），P0（2，1）可知：

△AFP0為等腰直角三角形，且點F到直線AC的距離為 ．

過點F作直線l2∥AC，交拋物線y= x2+2x﹣1于點M，則M為符合條件的點．

∴可設直線l2的解析式為：y=x+b2，

∵F（2，﹣1），∴﹣1=2+b2，解得b2=﹣3，

∴直線l2的解析式為：y=x﹣3．

解方程組 ，得： ，

∴M3（1+ ，﹣2+ ），M4（1﹣ ，﹣2﹣ ）．

綜上所述，所有符合條件的點M的坐標為：

M1（4，﹣1），M2（﹣2，﹣7），M3（1+ ，﹣2+ ），M4（1﹣ ，﹣2﹣ ）．

方法二：

∵A（0，1），C（4，3），

∴lAC：y=x﹣1，

∵拋物線頂點P在直線AC上，設P（t，t﹣1），

∴拋物線表達式： ，

∴lAC與拋物線的交點Q（t﹣2，t﹣3），

∵一M、P、Q三點為頂點的三角形是等腰直角三角形，P（t，t﹣1），

①當M為直角頂點時，M（t，t﹣3）， ，

∴t=1± ，

∴M1（1+ ， ﹣2），M2（1﹣ ，﹣2﹣ ），

②當Q為直角頂點時，點M可視為點P繞點Q順時針旋轉90°而成，

將點Q（t﹣2，t﹣3）平移至原點Q′（0，0），則點P平移后P′（2，2），

將點P′繞原點順時針旋轉90°，則點M′（2，﹣2），

將Q′（0，0）平移至點Q（t﹣2，t﹣3），則點M′平移后即為點M（t，t﹣5），

∴ ，

∴t1=4，t2=﹣2，

∴M1（4，﹣1），M2（﹣2，﹣7），

③當P為直角頂點時，同理可得M1（4，﹣1），M2（﹣2，﹣7），

綜上所述，所有符合條件的點M的坐標為：

M1（4，﹣1），M2（﹣2，﹣7），M3（1+ ，﹣2+ ），M4（1﹣ ，﹣2﹣ ）．

ii） 存在最大值．理由如下：

由i）知PQ=2 為定值，則當NP+BQ取最小值時， 有最大值．

如答圖2，取點B關于AC的對稱點B′，易得點B′的坐標為（0，3），BQ=B′Q．

連接QF，FN，QB′，易得FN∥PQ，且FN=PQ，

∴四邊形PQFN為平行四邊形．

∴NP=FQ．

∴NP+BQ=FQ+B′Q≥FB′= =2 ．

∴當B′、Q、F三點共線時，NP+BQ最小，最小值為2 ．

∴ 的最大值為 =

【解析】（1）先求出點B的坐標，然后利用待定系數法求出拋物線的函數表達式；（2）（i）首先求出直線AC的解析式和線段PQ的長度，作為后續計算的基礎．
若△MPQ為等腰直角三角形，則可分為以下兩種情況：①當PQ為直角邊時：點M到PQ的距離為2 ．此時，將直線AC向右平移4個單位后所得直線（y=x﹣5）與拋物線的交點，即為所求之M點；②當PQ為斜邊時：點M到PQ的距離為 ．此時，將直線AC向右平移2個單位后所得直線（y=x﹣3）與拋物線的交點，即為所求之M點．（ii）由（i）可知，PQ=2 為定值，因此當NP+BQ取最小值時， 有最大值．如答圖2所示，作點B關于直線AC的對稱點B′，由分析可知，當B′、Q、F（AB中點）三點共線時，NP+BQ最小，最小值為線段B′F的長度．
【考點精析】通過靈活運用二次函數的圖象和二次函數的性質，掌握二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小即可以解答此題．