Question

【題目】已知四邊形ABCD的一組對邊AD、BC的延長線交于點E．
（1）如圖1，若∠ABC=∠ADC=90°，求證：EDEA=ECEB；

（2）如圖2，若∠ABC=120°，cos∠ADC= ，CD=5，AB=12，△CDE的面積為6，求四邊形ABCD的面積；

（3）如圖3，另一組對邊AB、DC的延長線相交于點F．若cos∠ABC=cos∠ADC= ，CD=5，CF=ED=n，直接寫出AD的長（用含n的式子表示）

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖1中，

∵∠ADC=90°，∠EDC+∠ADC=180°，

∴∠EDC=90°，

∵∠ABC=90°，

∴∠EDC=∠ABC，

∵∠E=∠E，

∴△EDC∽△EBA，

∴ = ，

∴EDEA=ECEB．

（2）解：如圖2中，過C作CF⊥AD于F，AG⊥EB于G．

在Rt△CDF中，cos∠ADC= ，

∴ = ，∵CD=5，

∴DF=3，

∴CF= =4，

∵S△CDE=6，

∴ EDCF=6，

∴ED= =3，EF=ED+DF=6，

∵∠ABC=120°，∠G=90°，∠G+∠BAG=∠ABC，

∴∠BAG=30°，

∴在Rt△ABG中，BG= AB=6，AG= =6 ，

∵CF⊥AD，AG⊥EB，

∴∠EFC=∠G=90°，∵∠E=∠E，

∴△EFC∽△EGA，

∴ = ，

∴ = ，

∴EG=9 ，

∴BE=EG﹣BG=9 ﹣6，

∴S四邊形ABCD=S△ABE﹣S△CDE= （9 ﹣6）×6 ﹣6=75﹣18 ．

（3）解：如圖3中，作CH⊥AD于H，則CH=4，DH=3，

∴tan∠E= ，

作AG⊥DF于點G，設AD=5a，則DG=3a，AG=4a，

∴FG=DF﹣DG=5+n﹣3a，

∵CH⊥AD，AG⊥DF，∠E=∠F，

易證△AFG∽△CEH，

∴ = ，

∴ = ，

∴a= ，

∴AD=5a= ．

【解析】要證乘積式等式成立，可化為比例式即成立，進一步確定三角形△EDC與△EBA相似；（2）特殊角、三角函數應放在直角三角形中運用，因此需作垂線構造直角三角形，恰好構造出第（1）題的圖形，借鑒第一問的思路，求出EG，進一步利用面積之差，求出四邊形ABCD的面積.（3）作垂線構造出直角三角形，利用相似三角形△AFG∽△CEH，構建比例式，求出AD的長.
【考點精析】認真審題，首先需要了解相似三角形的判定與性質(相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方)，還要掌握銳角三角函數的定義(銳角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的銳角三角函數)的相關知識才是答題的關鍵．