Question

【題目】如圖，在矩形紙片ABCD中，AB=6，BC=10，點E在CD上，將△BCE沿BE折疊，點C恰落在邊AD上的點F處；點G在AF上，將△ABG沿BG折疊，點A恰落在線段BF上的點H處，有下列結論：①∠EBG=45°；②AG+DF=FG；③△DEF∽△ABG；④S△ABG= S△FGH ． 其中正確的是（ ）
A.1個
B.2個
C.3個
D.4個

Answer 1

【答案】C
【解析】解：∵△BCE沿BE折疊，點C恰落在邊AD上的點F處；點G在AF上， 將△ABG沿BG折疊，點A恰落在線段BF上的點H處，
∴∠CBE=∠FBE，∠ABG=∠FBG，BF=BC=10，BH=BA=6，AG=GH，
∴∠EBG=∠EBF+∠FBG= ∠CBF+ ∠ABF= ∠ABC=45°，所以①正確；
在Rt△ABF中，AF= =8，
∴DF=AD﹣AF=10﹣8=2，
設AG=x，則GH=x，GF=8﹣x，HF=BF﹣BH=10﹣6=4，
在Rt△GFH中，∵GH2+HF2=GF2 ，
∴x2+42=（8﹣x）2 ， 解得x=3，
∴GF=5，
∴AG+DF=FG=5，所以②正確；
∵△BCE沿BE折疊，點C恰落在邊AD上的點F處
∴∠BFE=∠C=90°，
∴∠EFD+∠AFB=90°，
而∠AFB+∠ABF=90°，
∴∠ABF=∠EFD，
∴△ABF∽△DFE，
∴ ，
∴ ，
而 =2，
∴ ，
∴△DEF與△ABG不相似；所以③錯誤．
∵S△ABG= ×6×3=9，S△GHF= ×3×4=6，
∴S△ABG=1.5S△FGH ． 所以④正確．
故選C

【考點精析】本題主要考查了翻折變換（折疊問題）和相似三角形的判定與性質的相關知識點，需要掌握折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，對稱軸是對應點的連線的垂直平分線，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和角相等；相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方才能正確解答此題．