Question

【題目】如圖1，A，B分別在射線OA，ON上，且∠MON為鈍角，現以線段OA，OB為斜邊向∠MON的外側作等腰直角三角形，分別是△OAP，△OBQ，點C，D，E分別是OA，OB，AB的中點．

（1）求證：△PCE≌△EDQ；
（2）延長PC，QD交于點R．
①如圖1，若∠MON=150°，求證：△ABR為等邊三角形；
②如圖3，若△ARB∽△PEQ，求∠MON大小和 的值．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵點C、D、E分別是OA，OB，AB的中點，

∴DE=OC，∥OC，CE=OD，CE∥OD，

∴四邊形ODEC是平行四邊形，

∴∠OCE=∠ODE，

∵△OAP，△OBQ是等腰直角三角形，

∴∠PCO=∠QDO=90°，

∴∠PCE=∠PCO+∠OCE=∠QDO=∠ODQ=∠EDQ，

∵PC= AO=OC=ED，CE=OD= OB=DQ，

在△PCE與△EDQ中， ，

∴△PCE≌△EDQ；

（2）

解：①如圖2，

連接RO，

∵PR與QR分別是OA，OB的垂直平分線，

∴AP=OR=RB，

∴∠ARC=∠ORC，∠ORQ=∠BRO，

∵∠RCO=∠RDO=90°，∠COD=150°，

∴∠CRD=30°，

∴∠ARB=60°，

∴△ARB是等邊三角形；

②由（1）得，EQ=EP，∠DEQ=∠CPE，

∴∠PEQ=∠CED﹣∠CEP﹣∠DEQ=∠ACE﹣∠CEP﹣∠CPE=∠ACE﹣∠RCE=∠ACR=90°，

∴△PEQ是等腰直角三角形，

∵△ARB∽△PEQ，

∴∠ARB=∠PEQ=90°，

∴∠OCR=∠ODR=90°，∠CRD= ∠ARB=45°，

∴∠MON=135°，

此時P，O，B在一條直線上，△PAB為直角三角形，且∠APB=90°，

∴AB=2PE=2× PQ= PQ，

∴ =

【解析】（1）根據三角形中位線的性質得到DE=OC，∥OC，CE=OD，CE∥OD，推出四邊形ODEC是平行四邊形，于是得到∠OCE=∠ODE，根據等腰直角三角形的定義得到∠PCO=∠QDO=90°，根據等腰直角三角形的性質得到得到PC=ED，CE=DQ，即可得到結論（2）①連接RO，由于PR與QR分別是OA，OB的垂直平分線，得到AP=OR=RB，由等腰三角形的性質得到∠ARC=∠ORC，∠ORQ=∠BRO，根據四邊形的內角和得到∠CRD=30°，即可得到結論；
②由（1）得，EQ=EP，∠DEQ=∠CPE，推出∠PEQ=∠ACR=90°，證得△PEQ是等腰直角三角形，根據相似三角形的性質得到ARB=∠PEQ=90°，根據四邊形的內角和得到∠MON=135°，求得∠APB=90°，根據等腰直角三角形的性質得到結論．本題考查了相似三角形的判定和性質，等腰直角三角形的性質，全等三角形的判定和性質，平行四邊形的判定和性質，等邊三角形的判定和性質，線段垂直平分線的性質，熟練掌握等腰直角三角形的性質是解題的關鍵．