Question

【題目】如圖，已知AB是⊙O的直徑，點C、D在⊙O上，點E在⊙O外，∠EAC=∠D=60°．
（1）求∠ABC的度數；
（2）求證：AE是⊙O的切線；
（3）當BC=4時，求劣弧AC的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵∠ABC與∠D都是弧AC所對的圓周角，

∴∠ABC=∠D=60°

（2）解：∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°．

∴∠BAC=30°，

∴∠BAE=∠BAC+∠EAC=30°+60°=90°，

即BA⊥AE，

∴AE是⊙O的切線

（3）解：如圖，連接OC，

∵∠ABC=60°，

∴∠AOC=120°，

∴劣弧AC的長為 ．

【解析】（1）由圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，即可求得∠ABC的度數；（2）由AB是⊙O的直徑，根據半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，即可得∠ACB=90°，又由∠BAC=30°，易求得∠BAE=90°，則可得AE是⊙O的切線；（3）首先連接OC，易得△OBC是等邊三角形，則可得∠AOC=120°，由弧長公式，即可求得劣弧AC的長．