Question

如圖，△DAC和△EBC均為等邊三角形，AE，BD交于O點，且分別與CD，CE交于M，N．則下列結論：①AE=BD；②CM=CN；③∠AOB=120°；④CO平分∠AOB．其中正確的有

1. A.
   1
2. B.
   2
3. C.
   3
4. D.
   4

Answer 1

D
分析：①易證△ACE≌△DCB，即可得到；②由△ACE≌△DCB得，∠MAC=∠NDC，△DAC和△EBC均為等邊三角形，得∠DCE=60°，即可證明△ACM≌△DCN；③因為∠MAC=∠NDC，∠DMO=∠AMC，所以，∠ACM=∠AOD=60°；④因∠MON=120°，又因為△BCN∽△E0N，所以=，因為∠ONC=∠BNE，所以△ONC∽△ENB，所以∠CON=∠CEB=60°，∠MOC=60°，則OC平分∠AOB．
解答：解：①在△ACE和△DCB中，
AC=CD，CE=BC，∠ACE=∠ECB，
∴△ACE≌△DCB，
∴∠MAC=∠NDC，AE=BD；
②∵△DAC和△EBC均為等邊三角形，
∴∠DCE=60°，
∴△ACM≌△DCN，
∴CM=CN；
③∵∠MAC=∠NDC，∠DMO=∠AMC，
∴∠ACM=∠AOD=60°，
∴∠AOB=180°-60°=120°；
④∵∠MON=120°，又因為△BCN∽△E0N，
∴=，∵∠ONC=∠BNE，
∴△ONC∽△ENB，
∴∠CON=∠CEB=60°，∠MOC=60°，
∴OC平分∠AOB．
故選D．
點評：本題考查了等邊三角形的性質及全等三角形的判定及性質，熟練掌握三角形全等、相似的性質是解答本題的基礎．