Question

【題目】（1）如圖1，同心圓中，大圓O的弦AB與小圓O切于點P，且AB=16，則圓環面積為________；

（2）如圖2，同心圓中，大圓O的弦AB與小圓O相交，其中一個交點為點P，且AP=2，PB=8，則圓環面積為________.

Answer 1

【答案】

【解析】分析：（1）根據圓環的面積等于兩圓的面積差，再根據切線的性質定理、勾股定理、垂徑定理求解；

（2）根據圓環的面積等于兩圓的面積差，再根據垂徑定理、勾股定理求解即可．

詳解：（1）連接OA、OB、OP．

∵大圓的弦AB是小圓的切線，∴OP⊥AB，AP=PB，∴OB2﹣OP2=（16÷2）2=64．

∵S圓環=S大﹣S小=πOB2﹣πOP2=π（OB2﹣OP2），∴S圓環=64π．

（2）過O作OD⊥AB于D，連接OP，OA．

∵AP=2，PB=8，∴AB=10．

∵OD⊥AB，∴AD=AB=5．

∵AP=2，∴PD=3．

在Rt△AOD和Rt△POD中，

∵OA2=AD2+OD2，OP2=PD2+OD2，∴OA2-OP2= AD2-PD2= 52-32=16．

S圓環=S大﹣S小=πOA2﹣πOP2=π（OA2﹣OP2），∴S圓環=16π．

故答案為：（1）64π；（2）16π．