Question

【題目】如圖，△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，將△ABC繞C點按逆時針方向旋轉α角（0°＜α＜90°）得到△DEC，設CD交AB于F，連接AD，當旋轉角α度數為____________，△ADF是等腰三角形.

Answer 1

【答案】40°或20°．

【解析】

根據旋轉的性質得∠DCA＝α，CD＝CA，則∠CDA＝∠CAD＝（180°α）＝90°α，利用三角形外角的性質得∠DFA＝30°＋α，當△ADF是等腰三角形，若FD＝FA，則∠FDA＝∠FAD，不合題意；然后討論AF＝AD或DF＝DA，分別利用等腰三角形的性質得到90°α＝30°＋α；30°＋α＝90°α30°，即可得到α的值．

解：∵△ABC繞C點按逆時針方向旋轉α角（0°＜α＜90°）得到△DEC，

∴∠DCA＝α，CD＝CA，

∴∠CDA＝∠CAD＝（180°α）＝90°α，

∵△ADF是等腰三角形，∠DFA＝30°＋α，

①當FD＝FA，則∠FDA＝∠FAD，不合題意，舍去；

②當AF＝AD，則∠ADF＝∠AFD，

∴90°α＝30°＋α，

解得α＝40°；

③當DF＝DA，則∠DFA＝∠DAF，

∴30°＋α＝90°α30°，

解得α＝20°，

故答案為40°或20°．