Question

探索研究
已知二次函數y=x²+bx+c中，函數y與自變量x的部分對應值如下表：

x	…	-1	0	1	2	3	…
y	…	0	-5	-8	-9	-8	…

（1）求該二次函數的關系式，并在給定的坐標系xOy中畫出函數的圖象；
（2）若A（m，y₁），B（m+4，y₂）兩點都在該函數的圖象上．
①試比較y₁與y₂的大小；
②若A、B兩點位于x軸的下方，點P為函數圖象的對稱軸與x軸的交點，點Q為函數圖象上的一點，解答以下問題：
（Ⅰ）直接寫出實數m的變化范圍是

 

；
（Ⅱ）是否存在實數m，使得四邊形APBQ為平行四邊形？若存在，請求出m的值，并寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）任取兩點坐標，利用待定系數法求函數解析式，根據表格中提供的數據畫出圖象；
（2）①求出y₁-y₂的表達式，然再分大于0，等于0，小于0三種情況討論；
②（Ⅰ）先求出二次函數圖象與x軸的交點的橫坐標，再根據交點在x軸的下方，令m大于左邊點的橫坐標，m+4小于右邊點的橫坐標，解不等式即可；
（Ⅱ）先求出AB與x軸平行，所以分（i）AB為平行四邊形的邊時，PQ與AB平行，此時點Q就是二次函數與x軸的交點，（ii）AB為平行四邊形的對角線，根據平行四邊形的對角線互相平分的性質，PQ平分AB，所以點Q就是二次函數的頂點，然后分別討論求解．

解答：解：（1）根據題意，

1-b+c=0 c=-5

，
解得

b=-4 c=-5

，
∴該二次函數解析式為y=x²-4x-5，圖象如右；

（2）①y₁-y₂=m²-4m-5-（m+4）²+4（m+4）+5=-8m，
∴當m＞0時，-8m＜0，y₁＜y₂，
當m=0時，-8m=0，y₁=y₂，
當m＜0時，-8m＞0，y₁＞y₂；

②（Ⅰ）當y=0時，x²-4x-5=0，
解得x₁=-1，x₂=5，
∴二次函數與x軸的交點坐標為（-1，0），（5，0），
∵A、B兩點位于x軸的下方，
∴m＞-1，m+4＜5，
解得-1＜m＜1；

（Ⅱ）∵二次函數對稱軸為x=-

-4

2×1

=2，
AB=|

m+4-m

2

|=2，
∴點A、B關于對稱軸對稱，
∴AB∥x軸，
（i）若AB為平行四邊形的邊，則PQ∥AB，
∴點Q為二次函數圖象與x軸的交點，此時PQ=2-（-1）=3，或PQ=5-2=3，
而AB=m+4-m=4，
AB≠PQ，
∴AB不能是平行四邊形的邊；
（ii）若AB為平行四邊形的對角線，根據AB關于對稱軸對稱，得
點Q為二次函數頂點，
又x=2時，y=2²-4×2-5=-9，
∴點Q坐標是（2，-9），
根據平行四邊形對角線互相平分，點A、B的縱坐標是

-9

2

=-4.5，
此時，m²-4m-5=-4.5，
解得m=

4-3 2

2

，或m=

4+3 2

2

（舍去）．
又∵此時AB∥x軸，
∴y₁=y₂，
∴-8m=0，
解得m=0，
∵m=

4-3 2

2

≠0，
∴不存在實數m，使得四邊形APBQ為平行四邊形．

點評：本題是二次函數的綜合題型，其中涉及的知識點有待定系數法求函數解析式，兩點的距離公式，平行四邊形的性質，解一元二次方程，綜合性較強，難度較大．