Question

問題情境
已知矩形的面積為a（a為常數，a＞0），當該矩形的長為多少時，它的周長最小？最小值是多少？
數學模型
設該矩形的長為x，周長為y，則y與x的函數關系式為y=2(x+

a

x

)(x＞0)．
探索研究
（1）我們可以借鑒學習函數的經驗，先探索函數y=x+

1

x

(x＞0)的圖象性質．
1填寫下表，畫出函數的圖象：

x	…	1 4	1 3	1 2	1	2	3	4	…
y	…								…

②觀察圖象，寫出該函數兩條不同類型的性質；
③在求二次函數y=ax²+bx+c（a≠0）的最大（�。┲禃r，除了通過觀察圖象，除了通過觀察圖象，還可以通過配方得到．同樣通過配方也可以求函數y=x+

1

x

（x＞0）的最小值．y=x+

1

x

=(

x

)2+(

1 x

)2=(

x

)2+(

1 x

)2-2

x

•

1 x

+2

x

•

1 x

=(

x

-

1 x

)2+2≥2
當

x

-

1 x

=0，即x=1時，函數y=x+

1

x

（x＞0）的最小值為2．
解決問題
（2）解決“問題情境”中的問題，直接寫出答案．

Answer 1

分析：（1）①根據求代數式的值的方法將x的值函數的解析式求出其值就可以了．
②根據①表中的數據畫出函數的圖象，再結合表中的數據就可以寫出圖象的相應的性質．
（2）由③的結論可以把x=

a

直接代入y與x的函數關系式為y=2(x+

a

x

)(x＞0)就可以求出周長的最小值．

解答：解：（1）①當x=

1

4

時，y=

17

4

，
當x=

1

3

時，y=

10

3

，
當x=

1

2

時，y=

5

2

，
當x=1、2、3、4、時，則y值分別為：2，

5

2

，

10

3

，

17

4

．
∴函數y=x+

1

x

（x＞0）的圖象如圖．

②當0＜x＜1時，y隨x增大而減�。划攛＞1時，y隨x增大而增大；當x=1時函數y=x+

1

x

（x＞0）的最小值為2．

（2）由③得，當該矩形的長為

a

時，
它的周長最小，最小值為y=2(

a

+

a

a

)=4

a

．

點評：本題是一道二次函數的綜合試題，考查了描點法畫函數的圖象的方法，二次函數最值的運用．反比例函數的圖象性質的運用．